Математика и диалектика. Часть 2

В последнее время стало модно ругать диалектику. Многие представители нашего левого движения говорят о ее ненужности, о том, что современный человек и без того, "по умолчанию", владеет культурой диалектического мышления. В качестве весомого возражения этим товарищам, мы считаем возможным привести статью академика АН СССР, выдающегося советского математика А.Д. Александрова, написанную по случаю столетия В.И. Ленина. Из-за технических ограничений на объем текста, нам пришлось разбить статью на две части.

§ 3. Некоторые существенные аспекты развития математики

Мы хотели бы обратить внимание на некоторые моменты в развитии математики, едва лишь намеченные в предыдущем изложении, и рассмотреть их более конкретно, хотя по необходимости суммарно. Начнем с аксиоматического метода.

Утверждение типа «через всякие две точки проходит прямая» выражает в первоначальном смысле закон природы [1]. В развитии геометрии это утверждение вместе с другими было положено в основание ее дедуктивного построения и в таком качестве выступает как аксиома. Таким образом, одно утверждение получает две стороны и как бы раздваивается: одной стороной, как закон природы, оно опирается на опыт, другой — как аксиома — служит опорой теоретического построения. Аналогично основные положения механики являются в исходном своем содержании ее законами, но, с другой стороны, берутся и как ее аксиомы. Цель и идеал аксиоматического метода состоят в том, чтобы строить теорию чисто дедуктивно, опираясь только на утверждения, принятые в качестве аксиом, и вовсе не обращаясь ни к опыту, ни к наглядному представлению. Иначе говоря, задача его состоит в том, чтобы вовсе отделить аксиоматическую сторону исходных утверждений от их эмпирической стороны, наглядно говоря,— отрезать одну от другой и оставить нижнюю, эмпирическую, в стороне. Однако, говоря на том же наглядном языке, отрезанная верхняя часть будет иметь свой низ и будучи снятой с эмпирического основания повиснет в воздухе. Эта картина, как мы сейчас покажем, довольно точно изображает историю аксиоматического метода.

Пока не появились неевклидовы геометрии, отделения аксиом от эмпирии и тем более от наглядного представления по сути и не происходило. Аксиомы и аксиоматический метод понимались содержательно, так же как это имеет место, например, при аксиоматическом построении статики и т. п. За результатом дедуктивного вывода сохранялось достоинство объективной истины. Хотя, например, несоизмеримость отрезков эмпирически не проверяема, но, насколько можно судить, никто не рассматривал ее как одно лишь построение ума, не касающееся реальности. Появление разных геометрий, само имевшее источник в исследовании аксиом геометрии именно в качестве аксиом, подорвало это убеждение. Сами аксиомы стали условными. На помощь были привлечены модели, которые придавали выводам разных геометрий то же достоинство истин, хотя и в более расширенном смысле: уже делом выбора стало относить геометрические факты внутри круга к геометрии Евклида или Лобачевского.

Теоретико-множественная установка придала аксиоматическому методу абстрактную форму, отвлекая аксиомы от всякого содержания, кроме того, что они вообще относятся к множеству каких-то объектов. Здесь, казалось, идеал аксиоматического метода был достигнут: эмпирия и связанное с нею содержание были оставлены вовсе. Но тогда, как это выразил Рассел, стало неизвестно, о чем мы говорим, а потому также неизвестно, верно ли то, что мы говорим. Короче, осуществление идеала аксиоматического метода превратило его в бессмыслицу. Конечно, оставались доказательства непротиворечивости посредством моделей, но если сами эти модели определялись аксиоматически, для них имело место то же положение, они должны были поэтому пониматься содержательно, и в конечном счете основание их обращалось к опыту. Однако применение теоретико-множественной установки вело к выводам, содержательное понимание которых оказалось невозможным, они были нереальны, если не верить в ту «транcцентную реальность» любых бесконечных множеств, которую принимал сам Кантор. Понятие множеств любой мощности, неизмеримых множеств и т. д. уходили слишком далеко. К тому же свободное оперирование с множествами приводило к парадоксам. Идеал аксиоматического метода в его теоретико-множественном осуществлении расшатывался.

Тогда было осознано — и это было подготовлено уже начавшимся paзвитием математической логики,—что само представление, будто теория строится на одних аксиомах, неверно по той простой причине, что строится она посредством рассуждений и что, стало быть, ее построение зависит от их логики. Поэтому для действительно аксиоматического построения теории нужно включить в ее аксиомы применяемые правила образования осмысленных в теории утверждений, правила допустимых определений и правила вывода. В таком виде аксиоматическая теория уже ни к чему не относится— ни к эмпирии, ни к множествам; она сама есть реально определенная и столь же, в принципе, реально развиваемая последовательность формул, т. е. внешних предметов.

Так аксиоматический метод приобрел новую форму — логико-математическую. В этой форме он, как сказано, действительно отделился от исходной сферы опыта и от всякого содержания. Но это удалось только потому, что он сделал самое теорию предметом материальной деятельности, превратив ее в выведение формул, а рассуждения о них ведутся в том же примерно духе, как мы рассуждаем о формулах в элементарной алгебре или о фигурах в шахматной игре. Сама формализованная теория стала содержанием математических рассуждений, особого рода «внешним предметом». Наконец, «машинная математика» позволяет, хотя бы в принципе, передавать такое развитие теорий машинам, и здесь они переходят в материальную действительность, из устремлений отрыва от которой они сами выросли. Но они переходят в нее здесь уже не в качестве ее отражения, а в качестве самой действительности. Машина есть материальный объект, ее работа есть материальный процесс, он есть, и поэтому нет вопроса о его обосновании и пр. Вопрос идет уже о том, чтобы машина работала, и если работает, то давала бы продукт, которым мы можем разумно воспользоваться.

Таким образом, данный обзор аксиоматического метода раскрывает внутреннее противоречие в самой его цели, заложенное в раздвоении единого утверждения на эмпирическое и аксиоматическое. Мы могли также убедиться, что указанное противоречие служило внутренним основанием развития аксиоматического метода.

Уже давно высказана была мысль, что математика — речь шла о математике 1930-х годов — слагается из алгебры и топологии. В частности, анализ есть не что иное, как теория отображений локально бикомпактных, связанных, коммутативных полей или их декартовых произведений. Не вдаваясь в обсуждения того, насколько и в каком смысле указанная общая точка зрения может быть применена к современной математике, мы во всяком случае должны признать за нею серьезные основания. Обратимся, однако, к истокам. Мы обнаруживаем в материальной действительности две общие и взаимно противоположные формы существования: дискретность и непрерывность, отдельные целые предметы, перестающие быть самими собой, если их делить на части, и такие предметы или среды, которые не разделены на части, но достаточно легко делятся, не переставая быть тем же самым. (Эти общие формы возникали в деятельности древних людей в виде, например, топоров и стрел, делить которые значило ломать, и в виде воды или зерна в его массе, которое легко делить.) Обращение с дискретными предметами породило счет — арифметику; непрерывность осваивалась главным образом в ее пространственном виде, откуда пошла геометрия. Алгебра является развитием арифметики и имеет дело с такого же рода абстрактными структурами, в ней математика исследует дискретное. Топология же и есть общее математическое учение о непрерывности, или, как принято теперь говорить в математике, о связности.

Геометрия начиналась, насколько можно судить, с измерения. Измерение есть не что иное, как применение дискретного к непрерывному. Так, непрерывное расстояние измеряется шагами, которые считают. Целых чисел оказалось недостаточно, и именно из потребности измерения возникли дроби. Так развитие понятия о числе началось с взаимодействия дискретного и непрерывного. Углубление греков в природу непрерывного привело к атомистической концепции: непрерывная величина представлялась состоящей из ничтожно малых частиц, которые в принципе можно считать. (Это послужило у Демокрита созданию прообраза интегрального исчисления суммированием тонких слоев.) Соответственно всякая величина измерялась рациональными числами. Число было рациональным. Открытие несоизмеримых отрезков опрокинуло геометрический атомизм. Непрерывность предстала в своем своеобразии и послужила предметом глубоких философских рассуждений и математических построений; на месте атомизма была создана теория отношений. Но сами отношения не были осознаны греками как числа. Этот громадный интеллектуальный шаг был совершен позже в Индии.

В эпоху формирования анализа атомизм возродился снова у Кавальери и др.; непрерывное мыслилось состоящим из дискретных, хотя и бесконечно малых величин. Но идущая от Ньютона точка зрения чистой непрерывности возобладала, актуально бесконечно малые были изгнаны и, например, у Римана пространство определяется как протяженность; оно не состоит из точек, хотя в нем можно отмечать или выделять точки. Но углубление в понятие «протяженности», «непрерывной переменной х» привело к представлению о них как о множествах точек или чисел. Непрерывное опять было сведено к дискретному, хотя и в гораздо более тонком смысле. Это же дало теорию вещественного числа, так что движение этого понятия и тут было связано с взаимоотношением дискретного и непрерывного. В той же связи осуществлялась «арифметизация» математики.

Однако трудности теории множеств вызвали реакцию, и снова была выдвинута чистая непрерывность, не сводимая к множеству отдельных элементов. Континуум — это среда, в которой математика вылавливает вычислимые числа. Представляется понятным по самой природе вещей, что непрерывное не сводимо к дискретному. В эмпирическом смысле, как указал еще Пуанкаре, оно означает переход через равенства к неравенству: А = A₁, А₁=А₂, ... , Аₙ = В, но А≠В. Это при наших математических привычках представляется нелепым. Но посмотрите на стрелку ваших часов: она стоит на месте и все же меняет его. Математика и вырабатывает аппараты для более совершенного овладения природной непрерывностью, бесконечностью, неопределенностью посредством дискретного, конечного, определенного. Греческий атомизм и теория отношений, классическая теория вещественных чисел, теория вычислимых чисел и т. п.— только ступени в движении математики.

Отметим некоторые моменты этого общего движения. Мы уже имели случай упомянуть важные достижения индийской математики. Первое — создание современной системы счисления с нулем. Главным здесь было именно изобретение обозначить особым знаком отсутствующий разряд. Его нет; но само его отсутствие было представлено как наличие «ничего», которое хотя и есть ничто, но получило обозначение. Мы настолько привыкли к написанию 103 и т. п., что не замечаем этого совершенно особенного, глубочайшего шага мысли, который был здесь совершен. Мы поймем это лучше, если осознаем, что никто из греков, даже гениальный Архимед, не смог сделать этого шага. Нетривиальность его блестяще выражена в афоризме Дирака, высказанном им в связи с «теорией дырок» (теория позитрона): «Ничто, помещенное во что-нибудь, вполне эквивалентно чему-нибудь, помещенному в ничто».

Второе достижение индийской математики — введение отрицательных чисел. Одним из конкретных его источников было сопоставление наличности и долга. Здесь даже нечто худшее, чем отсутствие величины, было осознано как величина, хотя и совершенно противоположная отсутствующей, но вместе с тем входящая с нею в общую систему и в этом смысле — величина того же ряда. Третьим достижением было введение иррациональных чисел. Отсутствие численной меры отношения, когда величины несоизмеримы, было представлено как то, что все же можно понимать как число, с которым можно производить вычисления. Такие операции, как освобождение от иррациональности в знаменателе и др., начали осуществляться индусами.

Распространенное утверждение, будто античная математика была наукой о постоянных величинах, несомненно ошибочно, хотя бы потому, что греки вычисляли таблицы тригонометрических функций для нужд астрономии. Они изучали движение, но не вообще движение, а данное — движение небесных светил. Так же они изучали функции, но не вообще, а конструктивно заданные, как, скажем, синус. Заслуга Ньютона, Лейбница и их предшественников состояла поэтому не в том, что они стали рассматривать переменные и функции, а в том, что они сделали предметом математического исследования любые функции; любые, конечно, в рамках их представлений — в современном смысле их можно понимать как любые аналитические. Это соответствовало тому, что механика сделала своим предметом не одно движение небесных тел, но движение вообще. Для греков это лежало вне математики, кривые, не заданные геометрическим построением они называли механическими. Превращение этих нематематических кривых в математические и было главным идейным шагом в создании анализа.

Упоминая в § 1 о выяснении смысла мнимых чисел, мы уже употребили такую его характеристику, как превращение их из мнимых в действительные в смысле вполне обоснованного понятия и действительного средства не только в самой математике, но и далеко за ее пределами. Достаточно вспомнить, что знаменитая ψ-функция квантовой механики комплекснозначна. Подобное явление в еще более яркой форме видно в создании неевклидовой геометрии. Лобачевский восстановил понимание связи геометрии с физикой и на этой основе пришел к убеждению возможности своей «воображаемой» геометрии. Но именно создание этой геометрии повлекло ясное разделение геометрии как части математики и как части физики, исследующей свойства реального пространства. Вместе с тем «воображаемая» геометрия оказалась затем вовсе не воображаемой, а имеющей простой смысл, ничуть не менее реальный, чем евклидова планиметрия. Можно еще вспомнить, что пространство скоростей в теории относительности есть пространство Лобачевского.

Бесконечность по исходному представлению и понятию есть то, что не может быть исчерпано и охвачено как нечто целое и завершенное. Она выпадала поэтому из логики. Гениальность Кантора состояла именно в том, что он имел интеллектуальную смелость допустить мысль о бесконечности как о чем-то данном, целом, завершенном. Стоило только помыслить натуральный ряд в таком виде, как за ним сама собою ставится ω, и разворачивание ординальных трансфинитов не составляет уже ничего особенного. Стоило также принять, как доступное логике, то уже давно известное, но казавшееся противоречием, алогизмом свойство бесконечных множеств, что в них «целое равно части», и найти различие счетного и несчетного, как различение мощностей уже напрашивается как бы само собою. Кстати, само по себе доказательство несчетности континуума проще простого. Сущность теории Кантора в подчинении бесконечного логике конечного. Однако бесконечное все же бесконечно в смысле исчерпываемости, в смысле невозможности исключить из всей его сферы всякое противоречие. Простейшая бесконечность — натуральный ряд — не охватывается никакой формальной теорией. Здесь так же, как в случае непрерывности, движению математики не видно конца: она все глубже исчерпывает в своих теориях бесконечность, но процесс этот бесконечен, ибо бесконечное и есть то, что неисчерпаемо.

[1] Иная формулировка — «через каждые две точки можно провести прямую» — выражает объективные возможности деятельности человека и, стало быть,— также объективный закон.

§ 4. Диалектика и математика

В рассмотренных только что моментах развития математики бросается в глаза общая их черта: установление «тождества противоположностей». «Ничто» противоположно «чему-то», но в форме отсутствия данного разряда оно изображается как «нечто» — нуль; оно есть «определенное ничто» и именно поэтому есть также нечто определенное. Отношение, не выразимое никаким числом, определяется как число. Нематематические функции превращаются в математические. Невозможная геометрия осознается как возможная. Бесконечность, не мыслимая как завершенная, мыслится как завершенная. Это и есть диалектика, есть переход в противоположность, изменение понятия вплоть до отождествления противоположностей, осознание полного отрицания как в некотором смысле «того же самого», как отрицательное число есть тоже число.

Другие кардинальные моменты истории математики, если бы мы имели место здесь рассматривать их, демонстрируют то же самое. Они и были кардинальными, потому, что то, что казалось в принципе не доступным математике, иррациональным, мнимым, невозможным, не выразимым в точных понятиях, не подвластным логике, превращалось в рациональное, действительное, возможное, выразимое в точных понятиях и подвластное логике; и оно включалось в систему математики не как нечто инородное, чуждое, влекущее противоречия, а как ее неразрывно связанная с уже наличными, жизнеспособная и действительная часть.

Когда говорят: «Диалектика в математике не нужна — я доказываю теоремы без диалектики», то во второй части фиксируют несомненный факт, ибо доказательство следует достаточно формальному пути и иначе не есть математическое доказательство. Но так же шофер, ведущий машину, не пользуется теорией тепловых двигателей, ни какой бы то ни было , частью теории автомобиля. Он также может гордо заявить, что ему все эти теории не нужны, он и без них обходится прекрасно. Но он упускает из виду, что для того, чтобы он мог «без них обходиться», именно эти теории и нужны — без них автомобиль был бы по меньшей мере плох. Так же и те, кто из ненадобности диалектики в доказательствах заключают, что она вообще ни к чему, упускают из виду, что они могут доказывать свои теоремы только потому, что область понятий, к которой эти теоремы относятся, была когда-то определена, и что этот процесс определения новой области науки, формирования принципиально новых понятий вовсе не формальный, но тем не менее имеет свою, хотя и более трудную и глубокую логику. Эта логика — логика изменения понятий в соответствии с задачами познания — и есть диалектика. Поэтому утверждения о ненужности диалектики, философии и прочее есть не более как та же самодовольная некультурность, какую проявляет иной неразвитый «работяга», чванящийся тем, что «все эти теории ему не нужны». Мы можем отметить тот исторический факт, что почти все действительно великие математики были философами-мыслителями [1].

Теперь, идя по § 2 от конца к началу, мы вспоминаем сказанное о взаимодействии абстракций дискретного и непрерывного, о роли этого взаимодействия в развитии понятия числа и фундаментальных теорий математики. Это была «борьба противоположностей», составлявшая внутренний импульс развития математики. Она начиналась с применения дискретного к непрерывному в измерении. Далее непрерывное было сведено к дискретному в атомизме, но именно через неограниченное мысленное продолжение измерения выявились несоизмеримые величины. Измерение пришло к собственному отрицанию. Не прослеживая здесь снова дальнейший процесс, отметим только, как теоретико-множественная точка зрения сама в своем развитии вызвала свое собственное отрицание.

Аналогичное обнаруживается в развитии аксиоматического метода. Раздвоение единого утверждения на эмпирическое и аксиоматическое, закон и аксиому, устремление отделить эту последнюю от ее основания было внутренним противоречием в самой идее аксиоматического метода, которое, как мы видели, толкнуло его развитие во взаимодействии с влияниями, шедшими из других сфер математики. В этом движении аксиоматического метода мы видим переходы в противоположность. От исходного содержательного понимания происходит переход к теоретико-множественному с отрывом от содержания и, тем самым, от опыта. Но так аксиоматический метод теряет смысл и основание и потому необходимо возвращение к содержательному пониманию, к самой материальной действительности, но уже совершение иным образом. Сама формальная теория становится содержанием математического рассмотрения и она же в виде переданной на машину оказывается самой объективной действительностью, материальным процессом, хотя и не природным, а созданным человеком. Происходит «отрицание отрицания», как оно происходило в переходах от атомизма к чистой непрерывности, от нее к атомизму бесконечно малых, от него опять к чистой непрерывности и т. д. Тот же процесс мы могли констатировать в отношении формальной установки Гильберта: его собственная теория доказательства побудила ту работу Геделя, которая доказала невозможность реализации гильбертовской программы.

Наконец, противоречие содержится в самой сущности математики, определяемой абсолютизацией ее абстракций. Возникнув из практики, как физика, она превратилась в чистую математику, имеющую своим предметом идеальные объекты и исключающую аргумент опыта. Однако отображение в понятии даже малейшего элемента действительности никогда не бывает полным, абстракция выхватывает некоторый, пусть существенный и общий, но все же только некоторый аспект. Поэтому абсолютизированная абстракция неизбежно содержит в себе элементы, каких нет в действительности, и вместе с ними момент заблуждения, тем более, что она абсолютизируется. Достаточно подумать об абсолютизации ньютоновской механики, как нам представится страшная картина полного вырождения физики. Поэтому математика не может существовать сама по себе, она иначе могла бы превратиться, если не целиком, то хотя бы в заметных частях, в игру ума. Поэтому «чистая» математика находит источники своего содержания и значения только в переходах ее в «прикладную» и обратно. Иначе говоря, она отрицает себя как чистую и только через такое постоянное отрицание и отрицание этого отрицания оказывается жизненной, оказывается мощным орудием человека. Там, где она опережала физику, она давала этой последней свой готовый аппарат, результаты применения которого возвращались к ней обратно сильнейшими импульсами развития.

Абсолютизация абстракций естественно превращает их в основание для восхождения к новым абстракциям и т. д. Это свободное движение математики порождает внутри нее новые понятия, но оно так же таит в себе трудности и даже опасности, как представляло трудность понимание комплексных чисел и привело к опасностям развитие теории множеств. Именно в этих пунктах трудностей и противоречий возникали при их разрешении дальнейшие импульсы к развитию, как мы могли это, хотя бы очень бегло, проследить в § 1 на примере загадок математики начала XIX в. Та же абсолютизация абстракций с ее отрывом от опыта ставит особым образом весь комплекс вопросов, касающихся оснований математики.

Словом, как мы уже имели случай сказать, «нет ничего абсолютно абсолютного», и потому математика в своем существе содержит противоречие, содержит свое собственное отрицание как науки, которое постоянно разрешается и преодолевается в процессе ее внутреннего развития, в ее взаимодействии с другими науками и практикой. Если мы понимаем ее теперь как «идеальную технику», то, можно сказать, она и развивается как техника в ее применении к производству продуктов потребления и машин, обслуживающих другие области, в своих внутренних потребностях совершенствования. Она есть могущественное и универсальное орудие дознания и решения задач всюду, где выявляются достаточно четко определенные структуры. Но само выделение таких структур, так же как формирование новых принципов математики, выходит за пределы ее собственных методов, подобно тому как существенные, революционизирующие преобразования техники имеют источники вне нее. Если математика абсолютизирует свои абстракции, то прежде чем быть закрепленными, они должны быть образованы, а именно это и есть самое трудное и важное в развитии теоретического познания.

Таким образом, самое математику обусловливает более первоначальный, фундаментальный и более универсальный метод теоретического сознания — диалектика, логика образования новых понятий, логика, в частности, формирования и общего исследования аппаратов — понятий, формальных теорий математики. «Всесторонняя, универсальная гибкость понятий, гибкость, доходящая до тождества противоположностей,— вот в чем суть. Эта гибкость, примененная субъективно, = эклектике и софистике. Гибкость, примененная объективно, т. е. отражающая всесторонность материального процесса и единство его, есть диалектика, есть правильное отражение вечного развития мира». Так писал В. И. Ленин [2].

Но: «Мы не можем представить, выразить, смерить, изобразить движения, не прервав непрерывного, не упростив, углубив, не разделив, не омертвив живого. Изображение движения мыслью есть всегда огрубление, омертвление,— и не только мыслью, но и ощущением, и не только движения, но и всякого понятия. И в этом суть диалектики. Эту-то суть и выражает формула: единство, тождество противоположностей» [3].

В тем большей степени происходит упрощение, огрубление, разделение, когда абстрактное понятие закрепления, абсолютизируется, и потому тем больше необходимость его уточнения, изменения, усовершенствования, развития,— необходимость отрицания его как закрепленного и восхождения через объективную гибкость мысли к новым и более совершенным понятиям.

Вместе с тем: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит, если оно правильное (NB),... от истины, а подходит к ней. Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом, все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее» [4]. «Познание есть отражение человеком природы, но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования образования понятий, законов etc., каковые понятия, законы etc. (мышление, наука = „логическая идея") и охватывают условно, приблизительно универсальную закономерность вечно движущейся и развивающейся природы... Человек не может охватить = отразить = отобразить природы всей, полностью ее «непосредственной цельности», он может лишь вечно приближаться к этому, создавая абстракции, понятия, законы, научную картину мира и т. д, и т. п.» [5].

Так математика, в нескончаемом процессе формирования ее абстракций и создания ее аппаратов, позволяет охватывать природу познанием все глубже, вернее и полнее. Понимание диалектики ее движения практически важно, в частности, для того, чтобы не делать фетишей из отдельных его моментов и направлений, а видеть их условность, ограниченность, необходимую взаимосвязь и переходы в общей связи и развитии математики. Об этом мы уже говорили в конце § 2. Все споры «чистых» математиков в прикладников о том, кто важнее, споры сторонников актуальной бесконечности и ее противников, канторианцев и ультраинтуиционистов и т. д.- все это только непосредственно жизненное проявление борьбы противоположностей в развитии математики. Если стороны не страдают непониманием диалектики, их спор оказывается более продуктивным, ведет к взаимному обогащению и общему развитию, иначе они расталкиваются и только закрепляются во внешнем противоречии. В таком виде всякий оттенок понимания математики легко обращается в заблуждение, в метафизику, в идеализм. Примером может служить интуиционизм, который в его толковании математики оказался субъективным идеализмом. Однако более рациональное понимание оснований и устремлений интуиционизма привело к интерпретации интуиционистской логики как логики задач и потом к «конструктивной установке» с ее конкретными математическими результатами без всякого идеализма.

«Философский идеализм есть только чепуха с точки зрения материализма грубого, простого, метафизического. Наоборот, с точки зрения диалектического материализма философский идеализм есть одностороннее, преувеличенное развитие (раздувание, распухание) одной из черточек, сторон, граней познания в абсолют, оторванный от материи, от природы, обожествленный» [6]. Конвенционализм Пуанкаре, интуиционализм Брауэра и др.,— это лишь преувеличенное, одностороннее развитие отдельных сторон математики, как условность ее аксиом, абсолютизированная Пуанкаре, или также превращенная в абсолют Брауэром интуитивная ясность построения натурального ряда прибавлением единиц в отличие от интуитивной неясности актуальной бесконечности.

Возвращаясь к определению В. И. Лениным сути диалектики, приведем следующие его примечательные слова, которыми начинается его краткая, но необычайно богатая мыслями заметка «К вопросу о диалектике». Ленин писал: «Раздвоение единого и познание противоречивых частей его есть суть (одна из „сущностей", одна из основных, если не основная, особенностей или черт) диалектики. Так именно ставит вопрос и Гегель... Правильность этой стороны содержания диалектики должна быть проверена историей науки. На это сторону диалектики обычно (например, у Плеханова) обращают недостаточно внимания: тождество противоположностей берется как сумма примеров [„например, зерно"; «например, первобытный коммунизм». Тоже у Энгельса. Но это «для популярности»...], а не как закон познания (и закон объективного мира)» [7]. Данная работа представляет собой некоторое выполнение сказанного В. И. Лениным: доказать правильность сути диалектики историей науки, в данном случае — математики, и показать, что и «тождество и борьба» противоположностей в математике есть закон ее движения и, стало быть, закон познания. Мы также старались показать, что общие понятия диалектики представляют хорошее средство общего описания и выявления закономерностей развития математики. Понятно, мы не могли все это сделать с достаточной полнотой. Но думается, нам все же удалось показать, насколько глубоко видел Ленин задачи теории познания, насколько и здесь он был прав.

[1] Начало греческой математики связано особенно с именами Фалеса, Пифагора, Демокрита; создание анализа обязано Декарту, Лейбницу, Ньютону (которого лишь по незнанию его сочинений не оценивают как философа-мыслителя); далее можно назвать Лобачевского, Римана, Кантора, Пуанкаре, Брауэра, Гильберта, Винера и др.

[2] В. И. Ленин, Сочинения, изд. 5, т. 29, стр. 99.

[3] Там же, стр. 233.

[4] Там же, стр. 152.

[5] Там же, стр. 163-164.

[6] Там же, стр. 322.

[7] Там же, стр. 316.