ЗЕНОН Эллейский

Во времена Зенона в древнегреческой математике и философии вопрос о свойствах пространства тесно связан с представлением о конечном и бесконечном.

Вопрос ставился так: - можно ли и до каких пор осуществлять процесс делимости тела, пространства.
Завершится ли такой процесс или он будет продолжаться беспредельно?
Одна из первых концепций бесконечности была выдвинута Анаксагором (500-428 г. до н. э.)
Началом всего сущего Анаксагор считал "гомеомерии"- бесконечное число элементов материи. Их сочетания дают всё многообразие вещей. "И в малом ведь нет наименьшего, но всегда есть меньшее. Ибо бытиё не может разрешиться в небытиё. Но и в отношении к большому есть большее.И оно равно малому по количеству. Сама же по себе каждая вещь и велика и мала".Следовательно, бесконечное существует в обе стороны.
Но если пространственные промежутки можно делить без конца, то пространство непрерывно.
Существовала и противоположная концепция Демокрита (460-310 г. до н.э.) - учение о неделимых, мельчайших частицах- атомах.
Он признавал бесконечность вселенной и числа атомов во вселенной, но считал, что тело нельзя делить бесконечно, а лишь до неделимых атомов. Но так, как экспериментальных фактов у них не было, споры между ними были беспредметными.

Заслуга Зенона была в том, что он показал, что и та и другая концепции ведут к глубоким противоречиям и парадоксам.
Апория "Ахиллес":
... Быстроногий Ахиллес хочет догнать медленно ползущую черепаху. Но пока он пробежит разделяющее их расстояние, черепаха тоже проползёт немного вперёд.
И Ахиллесу придется преодолевать это дополнительное расстояние.
Но пока он это сделает, черепаха вновь уйдёт вперёд - и так до бесконечности.
Значит, несмотря на то, что Ахиллес передвигается намного быстрее черепахи, он всё равно никогда не сможет её догнать. Или другими словами будет догонять её бесконечно длительное время.
Этим парадоксом Зенон показал, что предположение о бесконечном делении пространства приводит к противоречию с реальным фактом движения.
Вторая апория называется "Дихотомия":
... Если черепаха после сигнала к старту не сдвинется с места, Ахиллес всё равно её не догонит. Ведь чтобы преодолеть всё расстояние, он должен преодолеть её четверть. И так далее ... И поскольку процесс деления пополам не может окончиться, Ахиллес вообще не сдвинется с места.
Отсюда следовало, что в природе нет, и не может быть никакого движения.
Опровергнуть апории никто не смог.
Известен рассказ о том как философ Диоген, познакомившись с апориями Зенона, ни слова не говоря, поднялся с места и начал расхаживать взад и вперёд.
А.С.Пушкин:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал и стал пред ним ходить ...
Казалось бы, апории Зенона были опровергнуты с помощью самого могущественного аргумента - опыта.
Однако проблема гораздо сложнее, чем может показаться на первый взгляд.
Не спасало положения и атомистическое учение Демокрита, не допускавшего бесконечного деления.
Правда существование "неделимых" устраняло парадокс Ахиллеса и черепахи.
Как только в процессе деления мы дошли бы до "неделимых, всё стало бы на свои места - Ахиллес догнал бы черепаху.
Однако в двух других апориях Зенон показал, что и предположение о неделимых элементов пространства и времени также исключает возможность движения.
Одна из них называется "Стрела"
.... Стрела выпущена из лука.
Если стрела летит - это значит что она последовательно проходит точку за точкой своего пути.
Что значит: проходит через точку?
Значит находится в ней какое-то время, то-есть пребывает в состоянии покоя. Следовательно движение стрелы есть совокупность состояний покоя.
Следовательно, движение есть покой.
Таким образом, получалось, что обе противоположные концепции и бесконечной делимости (то-есть непрерывности) пространства и времени и существование неделимых элементов (то-есть дискретности пространства и времени) в равной степени ведут в тупик.
Апории Зенона обнаружили и еще одну трудность.
В ту пору в древнегреческой математике было представление о том, что конечная величина есть совокупность бесконечного множества точек.
... Но если тело совокупность бесконечного множества неделимых точек, не имеющих измерений, то их сумма равна нулю.
А это значит тело, имеющее измерение, лишено измерения.

Если же неделимые точки имеют измерение, то тело конечной величины оказывается бесконечно большим.
Зенон не ставил своей целью отрицать реальность движения.
Он гениально предугадал невозможность удовлетворительно объяснить движение ни с позиции бесконечной делимости длинны и длительности, ни с позиции признания неделимых элементов, если они обладают в свою очередь длинной и длительностью.
Фактически Зенон обсуждал вопрос о границах применимости представления о протяжённости и необходимости выйти за рамки протяжения.
Идея Зенона относительно протяжённости перекликается с современной идеей "регенерационного движения".
Движение осуществляется так: частица исчезает в одной пространственной ячейке и возрождается в другой.
Это происходит в результате взаимодействия с физическим вакуумом.
Апории Зенона наводят на мысль о том, что для объяснения сущности движения и покоя, скорее всего, необходимо отталкиваться от чего-то лишённого протяжённости и длительности.
Быть может это поле или вакуум, которые тоже являются формой существования материи.