Математики обнаружили странности в поведении простых чисел

Математики из Стэнфорда Каннан Саундарараджан и Роберт Лемке Оливер обнаружили неожиданную закономерность в поведении простых чисел. Свою гипотезу, подкрепленную некоторым количеством эмпирических вычислений, ученые изложили в препринтена сайте arXiv.org.

Основным объектом изучения выступала последовательность простых чисел — то есть все простые числа (которые делятся только на себя и на единицу) числового ряда, занумерованные в порядке возрастания. Важным инструментом изучения этой последовательности является последовательность, в которой сами числа заменены их остатками при делении на фиксированное натуральное число. Например, если в качестве такого числа взять 10, то получим просто последние цифры простых чисел.

Традиционно считается, что простые числа распределены на числовой прямой в целом довольно «равномерно». Более того, свойства последовательности напоминают результат работы некоторого случайного процесса. Один из таких процессов в 40-х годах прошлого века предложил шведский математик Карл Крамер. 

Он предложил рассматривать случайные последовательности, в которых принадлежность каждого элемента числового ряда последовательности зависит от количества близких соседей этого элемента, которые уже нашей последовательности принадлежат. Оказалось, что таким образом получаются последовательности по многим параметрам похожие на последовательность простых чисел.

Все эти результаты привели к тому, что специалисты в теории чисел полагали: распределение остатков при делении на некоторое число должны тоже быть похожи на случайные. Численный опыт Саундарараджана и Оливера показали в новой работе, что это, скорее всего, не так. Для анализа они взяли первые 400 миллиардов простых чисел и рассмотрели их остатки при делении на 10. Остатки могут быть 1, 3, 7, 9 (четные не могут быть, так как число делится на 2, 5 и 0 не могут быть, так как число делится на 5). Оказалось, например, что после простого числа, оканчивающегося на 3 с большей вероятностью идет число, оканчивающееся на 9, чем на 1 или 7.

Оценив разность вероятностей, математики сравнили с аналогичной оценкой, которая получится, если предположить выполнение гипотезы Харди-Литтлвуда. Эта гипотеза касается допустимых гребней (мы о нихнедавно писали), которые совсем недавно удалось применить к продвижению к доказательству гипотезы о простых числах-близнецах. Оказалось, что эти вероятности совпадают. Насколько сложна для доказательства их гипотеза, Саундарараджан и Оливер сказать затрудняются.

Андрей Коняев