• РЕГИСТРАЦИЯ

Лагранжев формализм. Обобщённые координаты. Часть 1

Беском
Теория становится материальной силой, как только она овладевает массой
27 июня 23:31 5 1801

Здравствуйте, дорогие товарищи! Перед вами 5-й выпуск из цикла «диамат, истмат и физмат». Сегодня, пожалуй, будет преобладать третья составляющая. И пожалуй, мне следует заранее извиниться перед лириками, что физики, быть может, будет многовато, а перед физиками – что изложена она будет чресчур вольно. И всё же… В современные т. н. «популярные» издания из теоретической физики просачиваются, как правило, исключительно вульгарные интерпретации её положений, не приближающие читателя или зрителя к их пониманию, а создающие у него лишь некую иллюзию причастности к науке.

А между тем нам следует научиться адекватно относиться к сенсационным заявлениям вроде того, что британские учёные открыли во Вселенной и уже вовсю исследуют 21-е измерение (мы-то с вами тут и 4 измерения толком представить не можем!). Благородное требование честности и неподкупности науки в буржуазном обществе невыполнимо. Как и всё остальное при капитализме, наука продаётся и покупается. Наука вместе с культурой, искусством и другими элементами идеологической надстройки, включая такие реакционные, как религия и оккультизм, активно используется правящим классом для «запудривания» мозгов. И чтобы не быть сбитыми с толку показным наукообразием, нам следует самим на доступном широкому кругу трудящихся уровне разбираться в науке, имеющей не только прикладное, но и важное мировоззренческое значение. Так что добро пожаловать в теоретическую физику!

1. Работа

Когда в результате действия силы на тело оно приходит в движение, некоторая потенциальная энергия «источника силы» преобразуется в кинетическую энергию, эта последняя может быть частично или полностью рассеяна (то есть, преобразована в тепло).

Величина преобразованной энергии «источника силы» называется работой силы. Очевидно, что работа имеет размерность энергии, то есть может быть измерена в тех же единицах, что энергия, например, в джоулях. Работа A в простейшем случае постоянной силы F, действующей на прямом пути l в том же направлении, в котором движется тело, равна произведению силы и пути:

A = Fl (5.1)

(здесь и далее первое число в нумерации формул будет означать номер выпуска наших бесед, где эта формула появилась).

В случае переменной силы, работа равна интегралу силы по пути:

A = ∫F(l)dl (5.1а)

2. Первая идея Лагранжева формализма (обобщённые координаты)

Первая замечательная идея лагранжева формализма (то есть, восходящего к Ж. Л. Лагранжу формально-аналитического метода решения физических задач) – обобщение уравнения (5.1).

Смысл обобщения таков: аналогичное уравнение можно составить, если вместо пути l выбрать какую-нибудь другую величину – «обобщённую координату» q, характеризующую «пространственную протяжённость» (например, площадь, объём или угол поворота, а также, например, массу, электрический заряд и даже энтропию, перетекающие «с одного уровня на другой»), а вместо силы F – «обобщённую силу» Q, величину, имеющую характер напряжённости, такую, чтобы произведение обобщённой силы и приращения соответствующей обобщённой координаты выражало работу:

A = ∫Q(q)dq (5.1б)

Размерность работы в любом случае, независимо от размерностей обобщённой силы и обобщённой координаты одинакова.

Для примера приведём несколько простых, но разнообразных случаев, когда работа выражается через обобщённую силы и приращение соответствующей обобщённой координаты. Простота примеров в том, что относятся они к «одномерным» случаям, точнее, системам с 1 степенью свободы, то есть, системам, описываемым функцией одной переменной, одной обобщённой координаты:

1. A = ∫F(l)dl

2. A = ∫σ(S)dS

3. A = ∫M(φ)dφ

4. A = ∫P(V)dV

5. A = ∫mg(h)dh

6. A = ∫U(q)dq

7. A = ∫T(S)dS

А если, кроме того, обобщённая сила постоянна, то формулы становятся совсем простыми, работа выражается простым произведением силы и координаты вместо интеграла силы по координате:

1. A = Fl l (сила х путь)

2. A = σS (коэфф. пов. натяжения х площадь)

3. A = Mφ (момент силы х угол поворота)

4. A = PV (объём, перетекающий по трубе)

5. A = (gh)m (масса в потенциальном поле)

6. A = Uq (разность потенциалов х перетекающий заряд)

7. A = TS (разность температур х перетекающая энтропия)

В 1-м примере обобщённой координатой является длина пути, но пути вдоль произвольной траектории, а обобщённой силой – проекция силы на траекторию. Такая «обобщённая координата» естественным образом использовалась ещё «на уровне начальной школы» , только не при вычислении работы по силе и пути, а при вычислении пути по скорости и времени движения путника по заданной траектории, по некой тропинке.

В последних четырёх примерах обобщённую силу можно интерпретировать как «разность потенциалов» (разность давлений, потенциалов поля тяжести, потенциалов электрического поля или температур) и работа совершается в результате «перетекания» с верхнего потенциала на нижний чего-то, характеризуемого соответствующей обобщённой координатой (объёмом, массой, электрическим зарядом, энтропией). Кстати, в бессмертном трактате Карно «о движущей силе огня…» теплород, перетекающий из одного резервуара в другой – и есть та самая энтропия.

Уже эти простые примеры весьма ценны. Во всех этих примерах, как и в случае обычной силы, в результате действия обобщённой силы на обобщённую координату происходит преобразование потенциальной энергии «источника силы» в другие формы.

Этого не происходит, если несмотря на наличие обобщённой силы (или разности потенциалов, не равной нулю) обобщённая координата не меняется (то есть, её приращение равно нулю) вследствие наличия потенциального барьера.

Сказанное можно проиллюстрировать геометрически. Величина работы численно равна площади под графиком Q(q). В случае постоянной силы это просто площадь прямоугольника.

Определённый интеграл функции одной переменной по формуле Ньютона-Лейбница равен разности значений первообразной в конечной и начальной точках. Минус первообразная обобщённой силы по обобщённой координате в данных одномерных случаях – это ни что иное, как потенциальная энергия.

Потенциальный барьер в этом случае наглядно изображается подъёмом графика потенциальной энергии выше начальной точки «А» (мы предполагаем, что кинетическая энергия в этой точке равна нулю)

При этом, как было сказано, преобразование энергии не идёт. Но мы можем вместо барьера поставить, так сказать, «канал сопряжения» (то есть, устроить так, чтобы приращение обобщённой координаты пошло по некоторому «каналу» и преобразование потенциальной энергии источника было сопряжено не с бесполезным рассеянием, а с совершением полезной работы). Мы можем заставить массу воды при падении с высоты, то есть, при преодолении разности потенциалов силы тяжести крутить турбины электростанции или можем заставить энтропию, перетекающую из камеры сгорания в окружающую среду, крутить двигатель автомобиля. Да и сама природа жизни заставляет потенциальную энергию, содержащуюся в белках, жирах и углеводах пищи, прежде, чем они окислятся до углекислого газа и воды, совершить разнообразную полезную для организма работу.

А ещё мы можем провести процесс в обратном направлении (против обобщённой силы), (тем самым накачав систему потенциальной энергией) затратив на это (за вычетом потерь) столько же энергии, сколько выделяется при протекании процесса в прямом направлении. Например, мы можем перекачать электрический заряд против разности электрических потенциалов, заряжая аккумулятор или перекачать энтропию от холодного тела к тёплому, увеличив тем самым разность температур между холодильной камерой и окружающей средой.

3. Выход в другие измерения

Напомню, что пока мы рассматривали «одномерные» случаи. В «одномерном» случае, то есть, при наличии у рассматриваемой физической системы лишь 1 степени свободы, форма пути между 2 точками фиксирована, дифференциал функции одной переменной, если можно так выразиться, всегда полный, значит, элементарная работа

δA = F(x)dx

– полный дифференциал, поэтому в одномерном случае суммарную работу на пути из точки А в точку Б всегда можно вычислить по формуле (5.1б)

A=∫Q(q)dq (5.1б)

Теперь вспомним, что мы живём в трёхмерном физическом пространстве. В нём одна материальная точка имеет три степени свободы, то есть, положение её описывается тремя координатами и обычная механическая сила, действующая на неё – величина векторная, имеющая три компоненты. Работа силы в трёхмерном пространстве подобно тому, как это было в одномерном случае, может быть вычислена по значениям первообразной от силы в 2 точках А и Б тогда и только тогда, когда работа на пути от точки А до точки Б полностью определяется 2 точками – точками начала и конца пути и не зависит от формы пути.

A = ∫d(-E_пот) = E_пот_1 - E_пот_2

Это бывает в том случае, когда элементарная работа

δA = Fx(x, y, z)dx + Fy(x, y, z)dy + Fz(x, y, z)dz (5.2)

является полным дифференциалом некой функции, иначе говоря, когда сила является градиентом некой скалярной функции (силовой функции, или минус потенциальной энергии U = -E_пот:

δA = ∂U/∂x(x, y, z)dx + ∂U/∂y(x, y, z)dy + ∂U/∂z(x, y, z)dz = ∇U (5.2а)

В этом случае все компоненты вектора силы F (а их в трёхмерном пространстве 3) в каждой точке определяются лишь 1 скалярной функцией, потенциальной энергией E_пот. Такие силы называют потенциальными, таковыми являются, например, сила тяжести, сила упругости… Когда такой кунштюк сведения вектора к скаляру возможен, вычисление работы сводится к вычислению разности потенциалов. О том, когда такой кунштюк возможен, мы поговорим в беседе, посвящённой математической теории поля. Там мы подробнее разберём и упомянутые понятия «полный дифференциал» и «градиент». А сейчас мы убедимся, что рассматриваемый метод обобщённых координат и обобщённых сил весьма полезен вовсе не только в таких особых случаях. Вначале найдём универсальное выражение для обобщённой силы.

4. Выражение обобщенной силы

Рассмотрим некоторую обобщённую силу Qi. Пока представим, что это просто одна из компонент вектора обычной силы, компонента вдоль координаты qi, причём qi – это просто одна из декартовых координат (x, y или z). Если рассматриваемая сила Qi потенциальна, то она по определению равна минус производной потенциальной энергии по координате:

A = ∂U/∂qi = - ∂E_пот/∂q_i (5.3)

Если в системе нет трения, то сила вызывает изменение кинетической энергии:

Qi = d/dt(mv) = d/dt(∂mv^2)/2∂v = d/dt (∂E_кин/∂q`_i ) (5.4)

«Ку с точкой» q` означает, как принято, обобщённую скорость, то есть, производную обобщённой координаты qi по времени.

Если выполнены указанные условия (потенциальность силы и отсутствие трения), то из двух предыдущих уравнений мы получим это:

d/dt (∂E_кин/∂q`_i) - (∂E_пот/∂q_i) = 0 (5.5)

Если же на нашу систему действуют ещё какие-то внешние (активные) силы, то уравнение (5.5) становится неоднородным, то есть, в нём появляется не равная нулю правая часть:

d/dt (∂E_кин/∂q`_i) - (∂E_пот/∂q_i) = Qi_внеш непотенц (5.5а)

Мы вправе написать уравнение не относительно двух разных величин E_пот и E_кин, а относительно их разности

E_пот - Е_кин ≝ L (5.6, функция Лагранжа)

которая называется кинетическим потенциалом, функцией Лагранжа или лагранжианом L:

d/dt (∂L/∂q`_i) - (∂L/∂q_i) = Qi_внеш непотенц (5.7, уравнение Лагранжа)

Дело в том, что если мы напишем уравнение Лагранжа так:

d/dt (∂(E_пот - E_кин )/(∂(q`_i ))-∂(E_пот - E_кин )/(∂q_i) = Qi_внеш непотенц (5.7а)

и применим правило «дифференциал разности равен разности дифференциалов», получим вот что:

d/dt (∂E_пот/∂q`_i - ∂E_кин/∂q`_i) - (∂E_пот/∂q_i - ∂E_кин/∂q_i) = Qi_внеш непотенц (5.7б)

Обычно E_кин заисит только от скоростей q`i, но не координат qi, а E_пот – наоборот, зависит только от координат qi, но не скоростей q`i. Поэтому в первой скобке исчезает первое слагаемое, во второй – второе и мы получаем уравнение (5.5а). Но в случае обобщённых координат в общем случае никакое слагаемое не обязано быть равным нулю, поэтому уравнение Лагранжа (5.7) более универсально, чем уравнение (5.5а). В следующей беседе мы удивимся, насколько оно универсально. Собственно, только что приведённые рассуждения – это вовсе не вывод уравнения Лагранжа, а лишь вспомогательные рассуждения, помогающие понять, «что к чему», а в следующей беседе мы подойдём к этому уравнению с другой стороны.

А теперь напишем такое же по виду, как (5.7) уравнение, но уже относительно кинетической энергии E_кин:

d/dt (∂E_кин/∂q`_i) - ∂E_кин/∂q_i = Qi_внеш (5.8)

здесь Qi_внеш – уже суммарная, потенциальная и непотенциальная обобщённая сила, действующая на систему извне и вызывающая изменение параметра qi, так называемая «активная» («внешняя») сила. Это уравнение нам в этой беседе ещё пригодится.

___

Дорогие товарищи, давайте сделаем небольшой перерыв. Текст самой интересной, второй части пятого выпуска будет скоро опубликован. А видео Вы можете посмотреть уже сегодня:

Теория становится материальной силой, как только она овладевает массой

Спящие проснулись, атака на Путина - 3

Это моя старая, несколько дополненная и изменённая статья. Не думал что придётся опять её ставить, но сейчас Путина обвиняют даже в том что в 90 х годах XX века Россия потеряла 10 милли...

Как выбить дурь феминизма из бошки зомбированной этим течением дамочки

Как выбить дурь феминизма из бошки зомбированной этим течением дамочки (Видео)Базовые цели, которые идеологически лежат в основе феминизма и эмансипации:1. Получать с женщин налоги...

Размазавший идею G8 Путин продиктовал условия капитуляции Запада по Крыму
  • sam88
  • 22 августа 07:12
  • В топе

Дональд Трамп и Эммануэль Макрон согласились на участие России в саммите «Большой семерки» 2020 года. Как сообщают западные масс-медиа, данное предложение в ходе телефонного разговора с...

Загрузка...

Ваш комментарий сохранен и будет опубликован сразу после вашей авторизации.

0 новых комментариев

    Беском 22 августа 12:09

    Кто же были патриотами — красные или белые?

    «Беспартийные коммунисты» (Беском) активно сотрудничают с Клубом левых историков и обществоведов (КЛИО). Цель этого сотрудничества - борьба с фальсификацией истории и антиисторическими концепциями, которые сегодня измышляют и усиленно распространяют охранители капитализма. Массу лжи и наветов формируют сегодняшние «историки» и политологи, а СМИ усиленно внедряют их в ...
    88
    Беском 21 августа 14:55

    [Правда 1950]: Коммунисты передового колхоза

    Статья газеты "Правда" за 1950 год о трудовой жизни одного украинского колхоза является прекрасной иллюстрацией устройства не только советского сельского хозяйства, но и социалистической формации в целом. Материал статьи даёт понимание, что колхозы - это не могильщики деревни, а, наоборот, фактор развития деревни. Колхоз - это хозяйство, в котором сконце...
    79
    Беском 20 августа 17:49

    "Молодежное сопротивление" в Германии

    Как только не высмеивали антисоветчики один из столпов коммунистического учения - пролетарский интернационализм, как только не измывались над разладом в международном товариществе трудящихся, когда одна за другой распадались бывшие социалистические республики. Однако капиталистический гнет и эксплуатация - лучшее средство для очищения сознания от напускного буржуазно-...
    59
    Беском 19 августа 12:51

    Киров о самообразовании

    Сергей Миронович Киров (1886 — 1934) - советский партийный деятель, коммунист, революционер, член РСДРП(б) с 1904 года. Убит в 1934 году в Ленинграде. МАРКСИЗМ-ЛЕНИНИЗМ - ЭТО НАУКА, КОТОРАЯ УЧИТ ТРУДЯЩИХСЯ ПОБЕЖДАТЬ СВОИХ ВРАГОВРечь на пленуме Ленинградского областного и городского комитетов ВКП(б) 10 октября 1934 годаЗдесь задавали вопросы: как поставит...
    219
    Беском 17 августа 13:55

    Что такое троцкизм?

    Редакция Бескома обратилась с инициативой к дружественным группам и изданиям затронуть в своих работах тему троцкизма, т.к. на данный момент в российском левом движении, как и в международном, наблюдается засилье троцкистов: троцкистских пабликов, кружков, движений, партий и профессоров от науки, которые, казалось бы, играя прогрессивную роль, вносят серьезный разлад ...
    120
    Беском 16 августа 23:38

    [Правда 1950]: Кулачество — опора фашистской клики Тито в деревне

    В ходе борьбы против распространения фашизма в Европе в 30-е годы прошлого века в большинстве стран были организованы Народные фронты, которые объединяли в себе все прогрессивные, демократические силы из различных слоев населения. Активными участниками и в основном организаторами Народных фронтов являлись коммунистические партии данных стран. Во время гитлеровской окк...
    110
    Беском 16 августа 00:41

    Патриотизм, где ты?

    Совсем чуть-чуть осталось до конца лета. За эти восемь месяцев произошло столько, сколько не было за десятилетия в нашей стране. Начнется осень и миллионы детей пойдут в школы делиться своими впечатлениями о лете. Те, кто постарше, пойдут в ВУЗы и СУЗы, чтобы дать стране десятки и сотни рабочих профессий. Взрослые после отпусков вернутся на свои рабочие места. ...
    110
    Беском 14 августа 18:32

    Энгельс о взаимодействии базиса и надстройки

    Фридрих Фридрихович Энгельс (1820-1895) - коммунист, революционер, один из основоположников марксизма, друг и соратник К. Маркса. ЭНГЕЛЬС - В. БОРГИУСУ В БРЕСЛАВЛЬЛондон, 25 января 1894 г.Милостивый государь! Отвечаю на Ваши вопросы:1. Под экономическими отношениями, которые мы считаем определяющим базисом истории общества, мы понимаем тот способ, каким ...
    84
    Беском 14 августа 18:31

    Николай II и генералы 27 февраля 1917. Часть 2

    После того, как Николая «подержали» в «информационной блокаде», у неомонархистов наступает второй акт «революции» - обманным путём выманить царя из Могилёва, чтобы заставить отречься от престола. Здесь неомонархисты сами себе противоречат: с одной стороны они признают, что обстановка в Петрограде катастрофичная, поскольку начался открытый разгром самодержавия и образо...
    59
    Беском 11 августа 21:21

    Николай II и генералы 27 февраля 1917. Часть 1

    Антисоветчики и антикоммунисты падение царизма в России объясняют не революционным движением масс против деспотизма самодержавия, а коварными заговорами против почти святого Николая II. Мистификаторы истории вовсю стараются свести Февральскую революцию к заговорщицкой возне монархической буржуазии и генералов. Современные попы (например, митрополит Тихон, он же Георги...
    211
    Беском 10 августа 20:58

    [Правда 1950]: Правые социалисты — злейшие враги мира

    В далеком 1950 году на сессии Постоянного комитета Всемирного конгресса Сторонников мира, проходившей в Стокгольме, было подписано обращение, требующее запрещения атомного оружия, установления строгого международного контроля за выполнением этого решения и объявления военным преступником правительства, которое первым применит атомное оружие против какой-либо страны. ...
    125
    Беском 10 августа 20:56

    Как я провел лето 2019

    Написано обучающимся 8 класса Форрестом Гампулиным.Это лето 2019 года было самым ужасным для меня. Я его провел за телевизором и интернетом. Причины были две. Первая - погода не особо радовала, а вторая причина – человеческий фактор. Уж, очень много страшных событий произошло как у меня, так и у многих моих знакомых и родственников. Лето началось со стра...
    178
    Беском 9 августа 21:44

    О Сталине и Хрущеве. Интервью И.А. Бенедиктова. Часть 6

    В шестой части редакция Бескома совместила заключение интервью сталинского наркома И.А. Бенедиктова из журнала "Молодая Гвардия" от 1989 года с дополнительными материалами к интервью, опубликованными в 2003 году в газете "Дуэль". О предыстории такого временного разброса в публикациях бесед Бенедиктова с журналистом Литовым (Добровым) редакция писала в предыдущих част...
    183
    Беском 7 августа 23:25

    Ленин о революционной фразе

    Владимир Ильич Ленин (1870-1924) - величайший пролетарский революционер и мыслитель, продолжатель дела К. Маркса и Ф. Энгельса, организатор социал-демократической и коммунистической партии в России, основатель Советского социалистического государства, учитель и вождь трудящихся всего мира. Не более как вариантом той же фразистой бессмыслицы является утве...
    233
    Беском 7 августа 23:23

    О Сталине и Хрущеве. Интервью И.А. Бенедиктова. Часть 5

    К концу беседы с журналистом Литовым мысли сталинского наркома Бенедиктова становятся все критичнее и откровеннее. Если бы не документальные доказательства того, что интервью состоялось в начале 80-х годов прошлого века, когда СССР являлся второй сверхдержавой, КГБ наводил ужас на западный мир, а победитель в холодной войне был еще неизвестен, то можно было бы приписа...
    1409
    Беском 4 августа 15:18

    Летнее обострение либералов

    Несанкционированные протесты в летней Москве внесли некоторое оживление не только в новостные ленты информационных агентств, но и в политическую жизнь страны. Ожидаемые осенью выборы в Московскую городскую думу начались со скандала: «не системных» оппозиционеров Мосгоризбирком под различными благовидными предлогами отказался регистрировать в качестве кандидатов в депу...
    226
    Беском 31 июля 21:53

    О Сталине и Хрущеве. Интервью И.А. Бенедиктова. Часть 4

    Без сомнения, воспоминания Бенедиктова, проработавшего около 15 лет бок о бок со Сталиным и 5 лет бок о бок с Хрущевым, имеют большую ценность для любителей истории. Еще один неоспоримый факт заключается в том, что Бенедиктов в своих беседах с “либерально” настроенным журналистом Литовым занял просталинскую позицию, хотя беседа велась в самом начале 80-х годов. Проста...
    448
    Беском 31 июля 21:51

    Толстой о преподавании религии в школах

    Лев Николаевич Толстой (28.8.1828-7.11.1910) - граф, один из наиболее известных русских писателей и мыслителей, один из величайших писателей-романистов мира. Участник обороны Севастополя.Алексѣй Константиновичъ, Когда я училъ въ школѣ, я еще не уяснилъ себѣ своего отношенія къ церковному ученію, но, не приписывая ему важности, избѣгалъ говорить о немъ съ...
    325
    Беском 30 июля 23:24

    О Сталине и Хрущеве. Интервью И.А. Бенедиктова. Часть 3

    Оказывается, что даже после литературной обработки, материал бесед журналиста Литова со сталинским наркомом земледелия Бенедиктовым был настолько велик, что целиком не вошел в публикацию журнала “Молодая Гвардия” от 1989 года, хотя и занял 53 страницы. Опубликовать оставшийся материал журналисту удалось спустя 14 лет в газете “Дуэль”, редактором которой был известный ...
    486
    Беском 29 июля 01:37

    [Правда 1950]: Кровавые дураки

    От редакции Бескома:Советского Союза уже почти 30 лет нет на политической карте мира, т.е. если верить демократам-пропагандистам, уже почти тридцать лет не существует военной угрозы миру. Начиная с "перестройки", хор западных и отечественных демократов не уставал разъяснять советскому народу, а затем российскому, что, оказывается, наша социалистическая страна постоянн...
    358
    Служба поддержи

    Яндекс.Метрика