Тайна забытой рукописи Архимеда.

Большинство школьных учебников, изданных за последние сотни лет, пронизаны идеями "прогресса" или "эволюции" – представлениями, что каждое следующее поколение человечества знает и умеет больше и лучше, чем предыдущее. А если сравнивать времена десятки или сотни поколений назад, то контраст становится просто вопиющим.

Мудрость древних

Действительно, стоит только посмотреть на портреты или бюсты солидных ученых мужей, которыми часто проиллюстрированы соответствующие параграфы: высокие лбы, умудренные морщинами лица, серьезные глаза, солидные всклокоченные бороды, – а затем сравнить их с тем, что в тех же параграфах подается как наивысшее достижение этих ученых, чтобы хмыкнуть со смесью высокомерия и презрения.

Ха! Они всю жизнь размышляли и трудились, читали бесчисленные труды других мыслителей, спорили с подобными себе, чтоб создать какую-то теорему Фалеса или закон Паскаля, которые теперь любой ребенок не самых старших классов усваивает за несколько уроков. Разве это не явное свидетельство прогресса?

Нет-нет, такое пренебрежительное отношение никогда не преподносится явно, наоборот, на словах наши книги всячески превозносят мудрость древних. Однако стоит сложить два и два, и даже самый отстающий школьник сообразит: если это мудрость, то что же в те времена было глупостью?! Какими же примитивными были наши предки!

Именно в таком свете весьма правдоподобными кажутся представления о том, что еще несколько тысяч назад по всему миру скакали дикари в набедренных повязках с грубо высеченными каменными топорами, для которых даже лук со стрелами казался вершиной технологического гения. А еще раньше? Забудьте! Обезьяны, просто обезьяны. Кое-какие противоречия с такой картиной развития цивилизации – например, "темные века" средневековой Западной Европы или удивительные "семь чудес света" кажутся не более чем исключениями, подтверждающими правило.

Закон Архимеда

Но насколько оправдано такое превозношение над гениями прошедших веков? Действительно ли то, что если бы один из них попал каким-то образом в наши дни, то любой ученик средней школы легко сравнился бы с ним по уровню умственного развития? Да и тот мог бы сразить его наповал каким-то логарифмом или интегралом?

Обратимся к одному из самых, казалось бы, знакомых нам мыслителей древнего мира. Архимед. Историю его знают все, правда? О нем рассказывается в бесчисленных книгах и научно-популярных фильмах, даже в нескольких детских мультфильмах. Забавный старик, который голым носился по городу с криками "Эврика!", после того, как на простом опыте в собственной ванной обнаружил, что "на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости".

С помощью этого принципа, названного позже "законом Архимеда", он научился измерять объем тел произвольно сложной формы. И попутно помог тирану Сиракуз вывести на чистую воду ювелира-обманщика, сделавшего на заказ венец не из чистого золота, а из сплава золота с серебром. Еще он был знаменитым механиком, автором "Архимедова винта" и многочисленных военных машин и механизмов, наводивших ужас на древнеримских захватчиков. Те, правда, несмотря на все хитрые боевые приспособления все равно как-то взяли Сиракузы, а бедный Архимед погиб от руки невежественного римского солдата за то, что потребовал "не трогать его чертежи".

А, вот, еще он сказал: "Дайте мне точку опоры, и я переверну Землю!" – что, несмотря на свое внушительное звучание, было не более чем иллюстрацией простейшего механического принципа рычага. Ну вот, пожалуй, и все, так?

Знания Ойкумены

Увы, и близко не так. Любая мало-мальски серьезная биография расскажет нам, что Архимед был не только выдающимся философом, естествоиспытателем и изобретателем, но, прежде всего, одним из крупнейших математиков греко-римской эпохи. Он был далеко не самоучкой, а получил прекрасное образование в Александрии Египетской, главном научном центре того времени, и всю жизнь состоял в переписке с учеными оттуда.

Объем знаний, доступных в Александрии III века до нашей эры, превосходит всякое воображение, поскольку там были собраны не только достижения всех народов Средиземноморского бассейна, но, благодаря походам Александра Македонского, также и множества загадочных цивилизаций Междуречья, Персии и даже долины Инда. Так что через Архимеда мы можем надеяться хотя бы слегка прикоснуться к знаниям практически всей "Ойкумены".

Более того, историки науки обоснованно считают, что про Архимеда нам известно гораздо больше, чем про любого другого древнего математика. Правда, они тут же добавляют, что о других мы не знаем вообще практически ничего. Так что и об Архимеде нам известно до обидного мало. Конечно, превосходная математическая репутация Архимеда ни у кого не вызывала сомнения на протяжении тысячелетий, но чем дальше тем больше вопросов возникало по поводу того, какие именно результаты и, самое главное, КАК были им достигнуты.

Утерянные доказательства

Дело в том, что очень мало оригинальных трудов Архимеда дошло не только до наших дней, но даже до эпохи Ренессанса, когда впервые за многие сотни лет возник интерес к серьезной математике. Речь идет, конечно, не о рукописях, написанных его собственной рукой, но хотя бы о достоверных копиях копий или полноценных переводах на другие языки.

К сожалению, огромная часть наследия древности сохранилась лишь в цитатах, приводимых другими, иногда гораздо более поздними авторами, и это касается не только Архимеда, но и абсолютно всех остальных замечательных античных ученых и философов. То, что, как нам кажется, мы знаем о них – это лишь очень малая часть того, чего они реально достигли. К тому же, в эту малую часть привнесены мириады случайных и намеренных искажений множества переписчиков, переводчиков и комментаторов, далеко не все из которых были одинаково честными и добросовестными.

Мало того, как и многие математики ранних эпох, Архимед в своих работах далеко не всегда приводил подробные доказательства своих формул и теорем. Это было связано как с тем, что для практического применения доказательство не требуется, так и с тем, что всегда существовал круг завистников, желающих присвоить значимый результат себе. Хранение в тайне метода доказательства делало возможным подтвердить свое авторство или опровергнуть авторство самозванца, если в том возникала нужда. Иногда, чтобы еще более запутать ситуацию, выпускались ложные доказательства с намеренно введенными в них неточностями и ошибками.

Конечно, когда результат получал всеобщее признание, верные доказательства все-таки публиковались, но, по понятной причине, количество рукописей, которые их фиксировали, было гораздо меньше, чем количество тех, где приводилось лишь окончательное решение. Усложнялось все еще и тем, что в древнегреческой математике чертежи не только иллюстрировали текст доказательства, но и сами были существенной его частью – а далеко не каждый переписчик был достаточно искусен в копировании сложных геометрических фигур. Из-за этого многие доказательства оказывались утерянными навсегда.

Метод Архимеда

На протяжении примерно тысячи лет среди таких навсегда утерянных для человечества трудов числился и трактат Архимеда "Метод теорем механики", часто известный как просто "Метод". Именно в нем Архимед подробно объяснял то, как он достиг некоторых своих наиболее удивительных результатов.

Значение его для понимания наследия этого древнегреческого мыслителя столь велико, что историки науки иногда называют этот трактат "слепком мозга Архимеда". Не имея доступа хотя бы к отрывкам из этого текста, определить истинный уровень математических знаний и навыков Архимеда считалось практически невозможным.

Первый проблеск надежды на то, что этот труд, возможно, все же сохранился, появился к середине XIX века. Захват наполеоновской армией Египта и вывоз оттуда в Европу огромного количества культурных ценностей пробудил среди просвещенных людей интерес к изучению Древнего Востока. На тот момент квинтэссенцией всей древней истории считалась Библия, но ее авторитет был в некоторой степени подорван критикой мыслителей эпохи Просвещения.

Непосредственное изучение памятников ушедших цивилизаций открывало возможность подтвердить фактами библейский текст, и многие европейцы и американцы с энтузиазмом взялись за это дело. Кто-то ездил по ближневосточным странам в поисках утраченных произведений искусства, кто-то за свой счет раскапывал руины погибших городов, а кто-то искал в библиотеках ближневосточных стран давно забытые рукописи.

Библейский ученый

Увы, несмотря на то, что многими из этих "библейских ученых" XIX века были достигнуты удивительные результаты, в массе своей они были очень далеки от профессионализма. Что прекрасно иллюстрирует следующий эпизод. Хорошо известный немецкий "библейский ученый" Константин фон Тишендорф в 1840-х годах работал в библиотеках Константинополя.

Оттуда он привез домой страницу заинтересовавшей его рукописи, на которой он заметил какие-то полустертые сложные математические вычисления на греческом.

Как ни прискорбно это признавать, но, по-видимому, он просто вырвал ее из книги, когда библиотекарь смотрел в другую сторону. Сейчас эта страница хранится в Кембриджской университетской библиотеке, одновременно как свидетельство удивительного случайного открытия и варварского отношения некоторых западных "ученых" к наследию древности.

Хотя чуть позже эта страница сыграла свою роль в обретении наследия Архимеда, настоящая заслуга открытия книги, которая позже стала известна как Палимпсест Архимеда, принадлежит не Тишендорфу, а безвестному турецкому библиотекарю. Во время составления каталога он тоже обратил внимание на строчки математических выкладок и привел выдержку из них в каталоге библиотеки, который был опубликован и разослан по всему миру.

Удивительный документ

В начале XX века этот каталог попал в руки датского историка и филолога Йогана Людвига Хайберга, который был заинтригован настолько, что не поленился добраться до Константинополя, и ознакомился с книгой лично в 1906-м году. То, что он увидел, потрясло его до глубины души.

Оказывается, к нему в руки попал удивительный документ. На первый взгляд, довольно заурядная богослужебная книга из пустынного монастыря Мар Саба, близ Иерусалима, переписанная в XIII веке. Но если присмотреться, поперек литургического текста шли еле заметные строки на более раннем греческом, изобилующие научными и философскими терминами. Любому специалисту, знакомому с культурой средневековья, было сразу ясно, что это означает.

Увы, пергамент, на котором писались средневековые книги, изготовлялся из телячьей кожи и был дорогой вещью. Поэтому нехватка этого материала часто решалась довольно прямолинейно: менее нужные книги разделяли на отдельные листы, с этих листов счищались чернила, затем они сшивались заново и на них писали новый текст. Термин "палимпсест" как раз и обозначает рукопись поверх счищенного текста.

В случае с Палимпсестом Архимеда каждый из исходных листов был к тому же сложен пополам, чтобы получить книгу меньшего формата. Поэтому и получилось, что новый текст был написан поперек старого. В качестве писчего материала неизвестный монах-переписчик использовал сборники научных и политических трудов, составленные в Византийской Империи примерно в 950-х годах. К счастью, очистка была произведена не очень тщательно, что и позволило обнаружить исходный текст.

Предварительный осмотр Хайбергом показал, что авторство большего числа текстов X века принадлежит ни кому иному, как Архимеду и, что самое главное, среди них присутствует почти в полном объеме вожделенный "Метод"! К сожалению, библиотека запретила выносить рукопись из своих помещений (после знакомства с персонажами вроде Тишендорфа, кто может их винить?), поэтому ученый нанял фотографа, переснявшего для него весь кодекс. После чего, вооруженный не более, чем лупой, Хайберг занялся кропотливой расшифровкой фотокопии. Ему удалось разобрать очень многое, и окончательный результат был опубликован в 1910-15 гг, довольно быстро был издан и английский перевод. Открытие потерянного труда Архимеда вызвало немало шума и даже попало на передовицу "Нью-Йорк Таймс".

Но сложная судьба Палимпсеста Архимеда на этом не закончилась. В период Первой Мировой войны (в результате которой Османская империя прекратила свое существование) и во время разрухи сразу после нее, в Константинополе было совершенно не до древних рукописей. Как во времена Наполеона из Египта, в 1920-х годах огромный поток турецких ценностей потек в Европу. Лишь гораздо позже удалось установить, что некий частный коллекционер смог приобрести и вывезти Палимпсест в Париж. Где тот на долгое время стал просто диковинкой, вращающейся в мире, очень далеком от знаний.

Кодекс из небытия

К счастью, страхи оказались напрасными. Когда Вилл Ноэль, куратор рукописей музея искусств Вальтерса в Балтиморе (США) обратился к агенту владельца с просьбой получить разрешение на реставрацию и изучение Палимпсеста, его инициатива была воспринята с энтузиазмом. Говорят, что миллиардер заработал свое состояние на высоких технологиях и потому сам был не так уж далек от науки и ее интересов.

С 1999 по 2008 гг. целая группа специалистов из самых разных областей, от филологии и искусствоведения до спектроскопии и компьютерного анализа данных, занималась восстановлением и сканированием Палимпсеста Архимеда. Это был непростой труд.

Сам Ноэль так описывает свое первое впечатление от рукописи: "Я был в ужасе, в омерзении, это абсолютно отвратительный документ, он выглядит очень, очень, очень уродливо, совершенно не похоже на великий артефакт. Просто кошмар, настоящий кошмар! Обгоревший, с обилием клея ПВА вдоль торца, под затеками этого клея скрыто многое из текста Архимеда, который мы собирались восстанавливать. Везде канцелярская замазка, страницы обклеены бумажными полосками. Просто нет слов, чтоб описать плохое состояние Палимпсеста Архимеда."

В монастыре книга активно использовалась в богослужениях, поэтому во многих местах она заляпана свечным воском. В загадочный период 1920-1990 гг. кто-то сфальсифицировал на некоторых страницах красочные "древневизантийские" миниатюры, пытаясь поднять стоимость рукописи. Но главная беда была в том, что весь кодекс был серьезно поврежден плесенью, в некоторых местах проевшей страницы насквозь.

Песчинки во Вселенной

Но были и радости. Когда кодекс был расшит на отдельные листы, обнаружилось, что многие строки текста Архимеда были скрыты внутри переплета и потому недоступны Хайбергу – иногда это были ключевые моменты в доказательстве теорем.

Съемка в разных диапазонах электромагнитного спектра, от инфракрасного до рентгеновского, с последующей компьютерной обработкой изображений, позволила реконструировать буквы текста X века даже там, где они были чем-то скрыты или полностью невидимы невооруженным глазом.

Но к чему весь этот кропотливый труд? Зачем многолетние поиски? Что в тексте трудов Архимеда, и, в частности, скрытого от нас в течение тысячелетия "Метода", можно найти такого, что оправдало бы энтузиазм ученых по отношению к Палимпсесту Архимеда?

Давным-давно было известно, что Архимед интересовался очень большими числами и очень малыми величинами, причем соединяя одно с другим. Например, для вычисления длины окружности он вписывал ее в многоугольник с большим числом, но малой длиной сторон. Или интересовался количеством мельчайших песчинок во Вселенной, которое представлялось в виде громадного числа. Это является приближением к тому, что в наши дни называется бесконечно большими и бесконечно малыми величинами. Но был ли Архимед способен оперировать математической бесконечностью в истинном, современном смысле этого слова?

Интегралы Архимеда

На первый взгляд, бесконечность – не более чем отвлеченная математическая абстракция. Но только после того, как математики научились оперировать этой категорией, появился так называемый "математический анализ", математический подход к описанию любых изменений и, в частности, движения. Этот подход лежит в основе практически любых современных инженерных, физических и даже экономических расчетов, без него нельзя построить небоскреб, сконструировать самолет или рассчитать выход спутника на орбиту.

Основа нашего современного математического анализа, дифференциальное и интегральное исчисление, были созданы Ньютоном и Лейбницем в конце XVII века, и почти сразу же мир начал изменяться. Таким образом, именно работа с бесконечностью отличает цивилизацию лошадиной тяги и ветряных мельниц не только от цивилизации компьютеров и космических кораблей, но даже от цивилизации паровых машин и железных дорог.

Так что вопрос о бесконечности имеет огромное, можно даже сказать "цивилизационно-определяющее" значение. И после трудов Хайберга в начале XX века и, в особенности, после работы команды Ноэля несколько лет назад, поставившей многие точки над "i", ответ на этот вопрос весьма однозначный и эмфатический: да, Архимед прекрасно знал концепцию бесконечности, и не только теоретически оперировал ею, но и практически применял ее в вычислениях! Его выкладки безукоризненны, его доказательства выдерживают тщательную проверку современными математиками. Забавно, он довольно часто применяет то, что в современной математике называется "суммами Римана", в честь известного математика… XIX века.

При вычислении объемов Архимед пользуется методикой, которую нельзя не назвать интегральным исчислением. Правда, если подробно вчитаться в его выкладки, складывается ощущение, что это интегральное исчисление "из другого мира". Хотя многое перекликается с тем, что сегодня знакомо нам, некоторые подходы выглядят совершенно чуждыми и неестественными. Они не хуже, и не лучше, они просто другие. И от этого пробирает мороз по коже: это высшая математика, генетически никак не связанная с современной! Через тысячелетия после Архимеда ученые нового времени изобрели все это с нуля, заново, с тем же содержанием, но в несколько другой форме.

Метод исчерпывания

К сожалению, Палимпсест Архимеда не дает и не может дать ответ на другой интригующий вопрос: в какой степени такие способы вычисления были уникальными для Архимеда и отражали его собственную гениальность, а в какой были типичными для греко-римских математиков и инженеров в целом? По крайней мере один метод вычисления типа математического анализа, которым Архимед владеет в совершенстве, можно проследить приблизительно до V века до н. э. Это "метод исчерпывания", разработку которого в Древней Греции обычно связывают с именем Евдокса Книдского, хотя есть данные, что его знали и ранее.

Конечно, впоследствии этот метод тоже был то ли изобретен заново, то ли реконструирован в XVII веке. Опыт математики последних столетий нам подсказывает, что ученые, прекрасно владеющие прикладной математикой, очень редко отвечают за теоретические прорывы. Архимед же, в первую очередь, прикладник, он интересуется задачами о вычислении конкретных длин, площадей, объемов.

Так что, вполне может быть, что его методика по работе с бесконечными величинами была не столько разработана, сколько доработана или переработана им. Но если ученые Александрийской или какой-то другой научной школы древнего мира свободно владели математическим анализом, ключом к современным технологиям, что еще они могли знать и уметь? Дух захватывает от горизонтов, которые открывает такое предположение.

Горький урок

Теперь, зная историю Палимпсеста Архимеда, можно отступить на шаг и задуматься. Да, к глубокому сожалению его открытие запоздало. В XX веке он стал сенсацией, но сенсацией лишь среди специалистов по истории науки. Но что бы было, сложись его история иначе? Если бы эта рукопись попала в руки ученых на 100, 300, 500 лет раньше? Что, если бы эту книгу еще на школьной скамье читал Ньютон? Или Коперник? Или Леонардо да Винчи?

Современные исследователи с уверенностью утверждают, что даже для математиков XIX века этот труд представлял бы более чем академический интерес. Для математиков XVII-XVIII века значение его было бы огромно.

А в эпоху Ренессанса, попав в нужные руки, он бы просто произвел эффект разорвавшейся бомбы, полностью перекроив будущее развитие математики и инженерной мысли. Чего мы лишились, потеряв на века доступ всего к одной античной книге? Городов на Марсе, межзвездных космических кораблей, экологически чистых термоядерных реакторов? Мы никогда не узнаем…

Но этот горький урок не должен пропасть зря. Сколько равных по значимости, а возможно и более ценных книг и документов все еще скрыто от нас? Стоит на пыльных полках в архивах и библиотеках, упрятано в запасники музеев, заперто в несгораемых шкафах коллекционеров? Сколько тайн хранят нерасшифрованные клинописные таблички и надписи на стенах древних сооружений?

Если написанный в 200-х годах до нашей эры текст ни много ни мало через две тысячи лет мог все еще считаться революционным, нет ли древних трудов, которые могут дать существенный толчок науке и технологиям и в наши дни? Мы рискуем и это никогда не узнать, если не избавимся от высокомерно-невежественного представления о "примитивности" наших предков.

Автор Георгий Халецкий

Источник