Начала Геометрии

Сегодня я попытаюсь рассказать о вещах необычных и удивительных, - о том, как из одного единственного представления, на основе Принципа Полярности, можно взрастить фундамент, казалось бы, такого понятного и всем привычного здания геометрической науки.

Здесь вполне намерено, относительно фундамента геометрии, использовано слово «взрастить», а не, например, «заложить», как это обычно принято, поскольку в отличие от привычного аксиоматического подхода к формированию этого самого фундамента, я постараюсь его именно взрастить на одном единственном Принципе, который предлагаю принять в качестве некой глобальной геометрической аксиомы.

Главной целью настоящих исследований, считаю проведение своеобразного эксперимента по применению универсального Принципа Полярности для создания естественной основы геометрии, позволяющей взглянуть на эту одну из древнейших и все охватывающих областей человеческих знаний с совершенно необычной точки зрения.

Мне представляется это достаточно интересным и полезным, поскольку в геометрии отсутствует, как таковое понятие времени, являющееся основополагающим критерием в установлении естественных причинно-следственных связей между ее объектами и феноменами.

Именно в таких обстоятельствах, вопрос формирования естественной и взаимосвязанной основы геометрии, позволяет определить порядок (своеобразный заменитель времени в геометрии) развертывания или становления всего многообразия геометрических форм – элементов.

Такой порядок, по моим представлениям, должен будет способствовать формированию целостного, гармоничного и сбалансированного образа самой геометрической науки. Думаю, что подавляющее большинство геометрических знаний останутся прежними, но появится возможность ответить на вопрос, - Почему?, эти знания именно такие, а не другие. А уже сам привкус понимания каких-то известных истин, вполне может породить и некие новые знания.

Надеюсь, что эта альтернативная точка зрения не будет использована в качестве субъекта или объекта какого-либо противостояния между уже давно сложившимися и новыми представлениями, поскольку все, что здесь будет изложено, может лишь только дополнить и обогатить уже существующее, или, по крайней мере, еще более ярко и четко оттенить его незыблемость.

Принцип Полярности

Об этом величайшем и универсальном Принципе Мироздания можно говорить бесконечно долго и, при этом, не сказать ничего, поэтому ограничусь здесь лишь представлением наиболее простого его образа:

«все двойственно: все имеет свои полюса, все имеет свою противоположность, похоже и непохоже – одно и то же, противоположности идентичны по природе, но различаются в степени, крайности сходятся, все истины – полуистины, все парадоксы можно сблизить.» [1]

Позволю себе кратко пояснить своими словами, приведенное несколько пространное определение Принципа Полярности:

... [все] противоположности идентичны по своей природе …, - это означает, что противоположности, по сути своей, являются одним и тем же;

… но различаются [лишь] в степени [проявления] …, - это означает, что в действительном мире противоположности всегда существуют раздельно и одновременно, как бы взаимодействуя между собой своеобразным образом. Поэтому в зависимости от того, какая из двух противоположностей в какой степени преобладает, в соответствующей степени та и проявляется, как своеобразный совокупный результат их взаимодействия;

… крайности [полюса] [противоположностей] сходятся …, - это означает, что крайние степени проявления противоположностей, называемые полюсами, по своей сути, являются одним и тем же, т.е. совпадают (сходятся). Именно феномен (свойство) схождения полюсов любых противоположностей и демонстрирует то природное единство, о котором говорилось выше.

Для большей наглядности и понимания смысла Принципа Полярности, его образ может быть представлен графически, в виде соответствующей круговой символической диаграммы (рис. 1).

Символ Принципа Полярности, Рис. 1

Принцип Полярности в таком виде, по-моему, вполне пригоден для его использования в качестве той самой единственной аксиомы, на основе которой собираюсь взрастить фундамент геометрии.

Необходимо обратить особое внимание на то, что в своих рассуждениях я буду оперировать уже существующими в геометрии понятиями и терминами, поэтому может сложиться впечатление того, что автор пытается лишь изменить порядок в вещах уже давно существующих с привнесением в них элементов, притянутого за уши вымысла.

В самом деле, это обстоятельство является очень важным и, пожалуй, даже самым главным моментом, притом не только для настоящих исследований.

Дело в том, что именно некоторый объем уже существующих геометрических знаний (представлений), единственно и позволяет взглянуть на геометрическое поле как бы с высоты (вне его самого) и охватить его в естественной полноте и единстве.

Поэтому настоящие материалы не стоит пытаться рассматривать, начиная как бы с «нуля», отказавшись (или отвернувшись) от уже существующих геометрических представлений. Более того, подобный подход был бы бесполезным и, возможно, даже вредным.

Напротив, необходимо обязательно воспользоваться своими геометрическими знаниями, но воспользоваться ими особым образом, как я уже говорил, - поднявшись над ними и созерцая их в своем естественном единстве. Осуществить подобное видение совсем не просто, но все же возможно. И исход любой такой попытки, содержится исключительно в каждом из нас, а по сему, и зависит от нас самих.

Линия

Наверное, не требует каких-то сложных пояснений то, что Принцип Полярности – это лишь инструмент или горнило, в котором может быть выплавлен драгоценный металл истины. Поэтому для его успешного применения и достижения поставленных целей, необходимо, кроме всего прочего, использовать подходящий исходный материал (руду).

Острый и смекалистый разум, скорее всего, уже заметил, что Принцип Полярности воплощает собой не только некий тривиальный инструмент в смысле своего пассивного (по отношению к материалу) применения, но и определенную систему требований к самому материалу, выступая при этом в качестве своей своеобразной активной составляющей.

Именно это необычное единство пассивного и активного аспектов Принципа Полярности по отношению к материалу, и обеспечивает изначальное единство всего проистекающего из их взаимодействия.

Итак, для успешного применения Принципа Полярности, нам необходимо определить некий простой геометрический образ (понятие), который воплощает (является носителем) в себе некое качество, способное проявляться в двух своих противоположностях.

Наверное, я уже достаточно хорошо натренировался в практическом применении своей методологии (Принципа Полярности) в различных областях познания, поскольку для меня совершенно очевиден подобный геометрический образ, - это линия.

Думаю, что нет смысла перегружать настоящие исследования какой-то массой доказательных рассуждений и мудрствований относительно представленного утверждения, поскольку сам ход использования Принципа Полярности в образе линии, неизбежно укажет на его справедливость или ошибочность. Именно такую обратную связь и обеспечивает активный аспект самого Принципа, а так же вся, сложившаяся на сегодня совокупность геометрических представлений (знаний).

Проявиться подобная ошибочность может в качестве возникновения неестественных и очевидных тупиков, разрывов, а так же скачков в процессе развертывания понятия «линии» в совокупность (множество) первичных геометрических образов – понятий, на которых удерживается все громадное здание современной геометрии и областей наук, ею пользующихся.

Обязательно хочу отметить, что, не смотря на то, что хотя образ линии и был выбран мной в результате некоего индивидуального таинства или акта творчества, вместе с тем, несколько позже, я вспомнил о Николае Кузанском, который в своей замечательной работе «Об ученом незнании» рассматривал этот образ [линии], рассуждая о таких ее качествах, как прямизна и кривизна.

Более того, это своевременное вспоминание значительно обогатило мои исследования, поскольку позволило использовать богатейший арсенал удивительных идей этого блестящего исследователя, в том числе и основополагающих из них – об Абсолютном максимуме и Абсолютном минимуме:

«Максимумом я называю то, больше чего ничего не может быть. Но такое преизобилие свойственно единому. Поэтому максимальность совпадает с единством, которое есть бытие. Если такое единство универсальным и абсолютным образом возвышается над всякой относительностью, то ему ничего не противоположно по его абсолютной максимальности. Абсолютный максимум есть то единое, которое есть все; в нем все, поскольку он максимум; а поскольку ему ничто не противоположно, с ним совпадает и минимум»

«Абсолютный максимум пребывает в полной актуальности, будучи всем, чем он может быть, и по той же причине, по какой он не может быть больше, он не может быть и меньше: ведь он есть все то, что может существовать. Но то, меньше чего не может быть ничего, есть минимум. Значит, раз максимум таков, как сказано, он очевидным образом совпадает с минимумом»

«… это превосходит всякое наше понимание, неспособное на путях рассудка сочетать противоположности в их источнике; ведь мы движемся в свете того, что открывает нам природа, а любое природное знание далеко отпадает от бесконечной силы и связывать воедино бесконечно отстоящее друг от друга противоположности неспособно. Только непостижимо поднявшись над всякой дискурсией рассудка, мы увидим, что абсолютный максимум есть бесконечность, которой ничто не противостоит и с которой совпадает минимум»

Приведенные цитаты, отнюдь, не предназначены для придания какой-либо весомости моим исследованиям, а являются данью уважения и искренней признательности выдающемуся исследователю Николаю Кузанскому, который еще более пяти с половиной веков тому назад говорил о том, с использованием чего сегодня я собираюсь провести свой эксперимент в геометрии.

Справедливости ради, необходимо заметить, что Н. Кузанский был совсем не одинок в своих утверждениях. Во все времена, начиная с самых древнейших, о которых мы сегодня имеем возможность судить исключительно по редким письменным документам, всегда существовали выдающиеся мыслители, утверждавшие подобные идеи в самых разнообразных и экзотических формах. Список их имен простирается в бесконечность, и Н. Кузанский – есть лишь одно из звеньев этой нескончаемой цепи.

Итак, в качестве изначального представления (элемента) в наших исследованиях определен образ линии, а такие противоположности, как прямизна и кривизна являются проявлением одного и того же ее качества.

Однако всего этого еще недостаточно для того, чтобы приступить к непосредственным исследованиям.

Необходимо еще так же ввести понятие некоего критерия в оценке того самого единого качества линии, который бы позволял отличать одну ее степень проявления от другой, при этом обеспечивая их логическое единство.

Обеспечить введение подобного критерия прямизны и кривизны в линии, способна лишь одна единственная, особая ее разновидность – это окружность.

Окружность

Окружность помимо линии, как таковой, воплощает собой так же понятие «центра». Этот самый центр, и есть искомая опора для проявления мерности прямизны (кривизны) линии, а так же – прообраз одного из первичных и наиважнейших элементов геометрии.

Теперь, вполне можно приступить к рассмотрению прямизны и кривизны линии в самых разнообразных степенях их проявления, используя для этого Принцип Полярности.

Совершенно очевидным является утверждение о том, что чем больше окружность, тем меньше кривизна ее линии или, соответственно, - больше ее прямизна.

Следовательно, линия максимально возможной окружности будет обладать и максимальной прямизной. Воплощением такой максимальной прямизны является прямая линия (далее – прямая), причем бесконечная прямая, поскольку максимальная прямизна, превысить которую ничто не может, - есть не более, чем актуализированная бесконечно большая прямизна.

Вместе с тем, линия минимально возможной окружности будет обладать минимальной прямизной (максимальной кривизной), и воплощением такой максимальной кривизны (актуализированной бесконечно большой кривизны), является точка.

Приведенные выше рассуждения, могут быть представлены более наглядно на типовой круговой диаграмме различных степеней проявления противоположностей (рис. 2)

Таким образом, в результате рассмотрения крайних степеней проявления (полюсов) прямизны и кривизны одной и той же линии (окружности), получены два первичных геометрических элемента, - прямая и точка, которые, не смотря на свое разительное отличие друг от друга (по внешней форме), оказались едиными (идентичными) по своей природе (внутреннему содержанию или сути).

Прямая и точка

Здесь необходимо обратить внимание на удивительный, таинственный и прекрасный по своей простоте момент.

Дело в том, что с помощью введенных противоположных качеств линии (ее прямизны и кривизны), удалось сделать невозможное, - как бы разделить единую и неделимую бесконечность на две ее составляющие части, которые, по сути своей, продолжая оставаться той же бесконечностью, актуализировались (проявились) в таких двух ярких и четких первичных геометрических образах – формах, как прямая и точка.

Выводы, к которым я пришел, в очередной раз лишь подтверждают справедливость моего утверждения о том, что бесконечность и ограниченность (конечность), по своей природе, являются одним и тем же.

Бесконечность в таком контексте является своеобразным проявлением внутреннего аспекта (точки зрения изнутри) любого, с внешней точки зрения, конечного объекта (величины).

Если попытаться сказать коротко о значимости таких первичных геометрических образов, как прямая и точка, то это бы выглядело приблизительно следующим образом, -

Прямая и точка, - есть бесконечность, проявленная в максимальной и минимальной линии, которые совпадают друг с другом и, вместе с тем, между которыми находится вся тьма вещей единого мира геометрии.

Прямая и точка, как крайние степени проявления одной и той же бесконечности (противоположные полюса) действительно совпадают, не смотря на столь существенные различия в их формах.

Чтобы суметь увидеть это удивительное совпадение прямой и точки, достаточно на мгновенье отвлечься от их форм и сосредоточить свое пристальное внимание на источнике их возникновения (проявления).

А таким источником является окружность, в своем максимальном (бесконечно большом) и минимальном (бесконечно малом) проявлениях.

Не взирая на раздельное представление бесконечно большой и бесконечно малой окружности, по сути своей, они воплощают собой одну и ту же единую бесконечность, поскольку она неделима. Вот в этой самой собственной неделимости, и совпадают прямая и точка.

Именно об этом удивительном и таинственном совпадении и писал Н. Кузанский в своей работе «Об ученом незнании»:

«Максимальное количество максимально велико, минимальное количество максимально мало; освободи теперь максимум и минимум от количества, вынеся мысленно за скобки, «велико» и «мало», и ясно увидишь совпадение максимума и минимума; максимум превосходит все и минимум тоже превосходит все; абсолютное количество не более максимально, чем минимально, потому что максимум есть через совпадение вместе и минимум»

Но, как может быть так, чтобы, получив из единой бесконечности две ее раздельные противоположности, в виде представлений прямой и точки, вместе с тем, продолжать говорить о некой ее неделимости?

Этот парадокс является кажущимся и может быть легко разрешен, если попытаться понять, что прямая и точка – это всего лишь являющиеся нам две раздельные и противоположные формы представления одной и той же неделимой и единой бесконечности.

Иначе сказать, - это как бы результат нашего видения одной и той же бесконечности с двух возможных различных и противоположных точек зрения, - снаружи и изнутри относительно самой же этой бесконечности.

Вот как об этом пишет Н. Кузанский в своей работе «Об ученом незнании»:

«Различие будь то вещей, будь то линий не от различия основания, оно у них едино, а от того привходящего обстоятельства, что они не в равной мере причастны этому основанию. Словом, есть только одно основание всего и все ему по-разному причастно»

Таким образом, можно заключить, что прямая и точка, - есть противоположные раздельные формы, но одной и той же, единой и неделимой по своему содержанию (по своей природе) бесконечности.

Форма и содержание – это две противоположные стороны одной и той же монеты или, как тело и душа человека. Если форма, - есть основа множества, то содержание, - есть основа единства этого самого всего множества.

Разделение единой бесконечности на две ее противоположные формы, - прямую и точку, позволило получить неделимые, сами в себе, первичные геометрические образы, поскольку нет окружности, менее минимальной (точки, менее точки) и, более максимальной (линии, прямее прямой).

Вместе с тем, то, что не в состоянии воплотить прямая и точка каждая в отдельности (будучи раздельными), оказывается вполне под силу им же, но в некоем единстве их форм. Воистину, - это завораживающий момент дальнейшего развертывания геометрии, поскольку новое формообразование, - «прямая-точка», по сути своей, создала необходимую основу для реализации особенного перехода от первичных бесконечных геометрических образов (прямой и точки), к ее конечным образам.

Вся уникальность и необычность подобного перехода заключается в том, что он воплощает собой невозможное и парадоксальное (с общепринятой точки зрения - логики) проявление множества конечных форм в одной и той же, единой и неделимой бесконечности.

А происходит это, довольно тонко и даже, я бы сказал, - с некоторым чувством юмора, поскольку многообразие конечных геометрических форм возникает в результате разделения прямой и точки, как бы опираясь друг на друга.

Прямая получила свою единственную возможность разделиться в точке, а точка – на прямой (см. рисунок 3).

На самом деле, говоря о неком разделении прямой и точки, речь идет не только о буквальном разделении этих форм представления одной и той же бесконечности в себе, но и о своеобразном как бы потенциальном и относительном движении этих разделяющихся форм.

Так, прямая, разделяясь в точке, являет в потенции как бы вращательное движение, воплощая собой первичную конечную форму, - угол и, соответствующую ему, - угловую мерность.

Точка же, разделяющаяся на прямой, являет в потенции как бы прямолинейное (поступательное) движение, воплощая собой другую первичную конечную форму, - отрезок и, соответствующую ему, - прямолинейную или линейную мерность.

На самом деле, указанное потенциальное движение прямой и точки в ходе их разделения, - это лишь предвестники действительного или актуального движения, т.е. – своеобразное движение в покое, энергия которого как бы расходуется пока исключительно на наращивание мерности.

Однако после прихода к действительному движению тел, сознание оказывается способным осуществить обратное проецирование этого самого актуального движения на свой потенциальный исток, в результате которого мы вполне обыденно и привычно оперируем такими понятиями, как движение точек и др. геометрических фигур.

Аналогичная ситуация происходит и с понятием мерности, не смотря на то, что оно применимо исключительно к конечным геометрическим фигурам (элементам). Иначе сказать, придя от бесконечности к конечным вещам, мы обрели понятие мерности. Однако, проецируя (отражая) это понятие обратно на бесконечность, нами получено такое, всем знакомое и привычное понятие, как «пространство».

Следует обратить особое внимание на то обстоятельство, что прямая, с размещенной на ней точкой, по сути своей, является диаметром бесконечно большой окружности и одновременно – особым, развернутым углом, поскольку он являет собой своеобразный серединный угол, стягивающий дугу в половину всей окружности.

Именно поэтому, совокупность прямой и точки, следует рассматривать в его двух неразрывных аспектах:

- как первичный акт разделения прямой в точке, и точки на прямой;

- как серединный (развернутый) угол, стягивающий половину всей окружности.

Развернутый угол воплощает собой как бы вновь обретенное единство двух раздельных форм представления одной и той же бесконечности (прямой и точки), но уже в совершенно новом качестве.

Это очень интересный момент в настоящих исследованиях, поскольку именно здесь происходит соединение вещей, казалось бы, совершенно не соединимых таких, как кажущейся бесконечности прямой и кажущейся конечности или ограниченности точки. Именно в результате этого необычного и невообразимого единства, и возникает первичное ясное и четкое представление о величине (конечности) и мерности вообще.

А происходит это исключительно благодаря еще одному элементу – свойству [любой] окружности, заключающемуся в неизменном постоянстве отношения величины ее длинны к ее диаметру. Это уникальное свойство любой окружности, вплоть до максимальной (бесконечной), позволило навести надежный мост, соединяющий неизмеримую бесконечность и измеряемые, конечные величины.

Действительно, только чуду можно уподобить то обстоятельство, что отношение двух бесконечных прямых (бесконечно большой или максимальной окружности и ее диаметра), оказалось тождественным конечной величине, - числу π (пи).

Могу лишь предполагать, что именно из сути этого уникального отношения, мог возникнуть образ угла (развернутого угла), как некоего конечного качества (аспекта), изначально бесконечного геометрического образа.

Поскольку диаметр, как развернутый угол, стягивает собой окружность, то он и воплощает самим собой угловую величину, содержащуюся в отношении:

L/D = π стремящийся к D * π = L, где

L - величина длинны окружности; D - величина ее диаметра, т.е. – π.

Однако, поскольку один и тот же развернутый угол имеет две совершенно одинаковые и противоположные стороны, которые и составляют любую окружность, то можно достаточно легко определить угловую величину, заключающуюся в любой окружности, которая тождественна величине - 2π.

Таким образом, логическая цепочка: окружность – прямая и точка – диаметр – развернутый угол, дала нам не только некое разнообразие первичных геометрических элементов (понятий и образов), но и позволила ввести единую (согласованную) мерность их величин:

- отношение величины любой окружности к величине ее диаметра – π;

- величина развернутого угла – π;

- угловая величина, заключающаяся в окружности - 2π.

Теперь несколько слов о диаметре, как первичном акте разделения прямой и точки.

Дело в том, что точка, разделяющая прямую на две ее части, и прямая, проходящая через точку (разделяющая точку на две ее части), создают как бы своеобразную опору друг для друга, относительно которой появляется возможность (потенция) последующего действительного разделения и прямой, и точки, воплощающих собой две соответствующие разновидности мерности, а так же разнообразное и бесконечное множество конечных (ограниченных) величин.

Угол

Образ (понятие) угла проявляется в результате своеобразного разделения прямой на две свои части (идентичные прямые) в точке.

Таким образом, если прямая L с точкой A воплощают собой развернутый угол, то появившаяся в результате разделения в этой точке вторая прямая M, совместно с исходной прямой, образуют в точке A угол величиной α, как, впрочем, и еще три, связанных с ним угла (β, γ, ω).

Однако, используя свойство развернутого угла (постоянство его величины – π), можно легко показать, что

γ = α = π – β;

β = ω = π – α.

Итак, угловой мерностью обладают лишь два разнородных геометрических элемента (формы), - это развернутый угол и окружность.

Однако никакое разделение окружности [в ее центре] не может привести к изменению ее угловой величины, поскольку она всегда разделяется в саму себя!

Напротив, разделение прямой в точке развернутого угла, приводит к проявлению множества различных углов, отличающихся от исходного, развернутого. Диапазон изменения угловых величин заключен в пределах от бесконечно малых размеров (0), - это луч, и до величины развернутого угла – π (рис. 5).

Совершенно очевидно, что естественной серединой диапазона возможных изменений величин угла, является особый или серединный угол, величина которого тождественна – π/2.

Такой угол, определяется, как прямой угол (рис. 6).

Исключительность прямого угла подтверждается уже тем обстоятельством, что прямая, разделяющаяся в точке под прямым углом, образует и другие три, так же прямых угла.

Все углы, меньшие по величине, чем прямой, определяются, как острые, а большие, чем прямой, но меньшие, чем развернутый, - как тупые.

Таким образом, в результате естественного разделения прямой в точке, проявился геометрический образ угла, который, в свою очередь, разделился в зависимости от собственной величины, образуя новые противоположности:

- острые углы;

- прямой угол (середина);

- тупые углы.

Прямой угол подобен настоящему между массой прошлого и будущего. Поэтому, как всякая середина всех возможных углов, он должен обладать совершенно необычными и уникальными свойствами. И, как мы уже достоверно знаем, он ими и обладает в действительности!

Отрезок

Если окружность и ее диаметр, развернутый угол, луч, т.е – все угломерные формы, являются воплощением некой мерной (угловой) величины, образованной бесконечностями, то отрезок, который есть результат разделения точки на прямой, воплощает собой актуальную ограниченность на прямой или действительную мерность на бесконечной прямой, именуемую, как расстояние, длинна или протяжение (рис. 7).

АВ – отрезок величиной а.

Отрезок является воплощением первичного и полноценного представления о мерности вообще, и об одномерности в частности.

Итак, нами рассмотрены варианты разделения прямой в точке и точки на прямой.

Если же рассмотреть все возможные варианты комбинаций этих двух видов разделений, то получим еще две возможности разделения, завершающих их полную группу:

- минимальная последовательность разделений точек и прямых, приводящих к замкнутой (ограниченной) фигуре, подобной «окружности»;

- одномоментное разделение точек и прямых. Такой вариант разделения возможен лишь после формирования представления о треугольнике, поскольку подобное разделение возможно только относительно особой «точки-прямой», каковой выступает одна из сторон треугольника.

В результате реализации первого варианта, будет получено представление о треугольнике (двумерной фигуре).

В результате реализации второго варианта будет, получено представление о тетраэдре (трехмерной фигуре).

Треугольник

Это просто удивительно, но из достаточно простых образов – идей «кривизны» и «прямизны» линии, удалось вполне логично обрести такие понятия, как прямая и точка, угол и отрезок.

Но, что самое интересное, так это то, что порядок (последовательность) и механизм их появления (проявления) в настоящем исследовании, несколько отличается от того, который является общепринятым. Когда началом всего считается точка, прямолинейное движение точки - дает прямую линию, движение линии – дает поверхность и, наконец, движение поверхности – дает объем (тело).

Более того, говоря здесь о прямой и точке, угле и отрезке, я вообще еще ничего не говорил о каком-либо действительном движении, чего бы то ни было.

Вместе с тем, я необходимо был вынужден прибегать к помощи движения особого рода – разделению прямой в точке и точки на прямой, для проявления того самого единства бесконечности и ограниченности (конечности), воплощением которого и является треугольник. Треугольник как бы берет от бесконечной окружности ее качество фигуры (в смысле замкнутости формы), а от конечного развернутого угла, - ограниченность этой самой фигуры.

Кроме того, аспект бесконечной фигуры (окружности), в треугольнике так же нашел свое воплощение и в бесконечном разнообразии всевозможных отличных друг от друга форм и размеров различных треугольников.

Теперь рассмотрим, каким же особым разделением и разделением чего, проявляется первая полноценная фигура геометрии – треугольник (рис. 8).

1 - разделение точки А на прямой L, дало точку B и, соответственно, отрезок а;

2 - разделение прямой L в точке В, дало прямую М и, соответственно, угол α;

3 - разделение точки В на прямой M, дало точку C и, соответственно, отрезок b;

4 - разделение прямой M в точке C, дало прямую N и, соответственно, угол β, γ, а так же отрезок с.

Для полноты и завершенности построения, можно разделить точку С на прямой N, вернувшись обратно в точку А, и разделить прямую N в точке А, вернувшись обратно к прямой L, и тем самым завершить (замкнуть) полноценный цикл последовательного разделения прямой и точки.

Думаю, что совершенно очевидным является то обстоятельство, что если бы построение треугольника было начато не с разделения точки на прямой, а с разделения прямой в точке, то результат был бы получен тот же самый.

Вот такая необычная и простая последовательность разделений точки и прямой, позволила получить (проявить) фигуру совершенно нового качества, воплощающей в себе бесконечность форм и размеров, а так же замкнутость и ограниченность угла.

Стоит обратить внимание на то, что в ходе формирования треугольника, третий его угол γ и третья его сторона c, определились необходимым образом, т.е. однозначно из всех предыдущих построений.

А это обстоятельство, явно указывает на то, что между величинами сторон и углов в треугольнике непременно существует строго определенная закономерная взаимосвязь.

Кроме всего прочего, в представленной трактовке образа треугольника, нет никакой необходимости заблаговременного введения такого понятия, как «плоскость», поскольку ее представление (образ) вполне естественно проистекает из самого треугольника. Поэтому треугольник, в конечном счете, воплощает собой актуальную двухмерность (площадь).

Треугольник по праву занимает место действительного Начала любой геометрической фигуры. Поскольку опыт моих исследований (на примере натуральных чисел) показывает, что Начало, есть половина Всего, то можно попытаться сформировать некоторые представления относительно истоков отдельных известных свойств треугольника.

В частности, можно понять, почему именно половину угловой величины окружности, содержит в себе всякий треугольник. Ведь треугольник, воплощает собой своеобразную Середину (поскольку является Началом …) между минимально возможной величиной угла луча (0), и максимально возможной угловой величиной окружности (2π), которая и составляет величину, тождественную – 2π/2 = π.

Подобное представление об угловой величине, воплощаемой любым треугольником, может существенно изменить порядок возведения единого здания геометрической науки.

Ведь равенство секущих и накрест лежащих углов, а так же понятие параллельных прямых, простым и естественным образом проистекает из представлений того же треугольника.

Сумма углов в треугольнике

Утверждение того, что треугольник воплощает собой угловую величину, тождественную π, можно доказать (более строго в общепринятом смысле), основываясь лишь на двух посылках:

- величина развернутого угла – π;

- угловая величина окружности или одного оборота - 2π.

И так, в завершении цикла построения треугольника, исходная прямая (L) совершит один полный оборот, возвращаясь в саму себя (посредством прямых M и N) (рис. 9).

Следовательно, сумма углов 1 + 2 + 3 = 2π

Вместе с тем, с учетом неизменной величины развернутого угла, - π:

величина угла 1 = (π – α);

величина угла 2 = (π – β);

величина угла 3 = (π – γ).

Отсюда получим, что

1 + 2 + 3 = (π – α) + (π – β) + (π – γ) = 3π – (α + β + γ) = 2π

Значит, в итоге, сумма углов в треугольнике тождественна:

α + β + γ = π.

Параллельные прямые

Если в ходе построения треугольника, в результате второго (последнего) разделения прямой в точке, треугольник не образовался, то, значит, исходная и последняя прямая, являются параллельными (не пересекающимися или не имеющими общей точки), см. рис. 10.

При этом, угловая величина, содержащаяся в образованной «открытой» П-образной фигуре, составляет – π, т.е. – является такой же, как и у необразовавшегося треугольника:

α + β = π.

Равенство накрест лежащих углов, является совершенно очевидным из самого построения, поскольку проистекает из основного свойства развернутого угла.

Равенство секущих углов проистекает из неизменной угловой величины, содержащейся в треугольнике, или из сведения точек B и C в одну, когда отсутствует разделение прямой (прямые L и N, - совпадут):

если α + β = π, то α = π – β и β = π – α.

Тетраэдр

Как только треугольник определил (проявил) собой образ плоскости, так сразу же появилась возможность еще одного вида разделения точки и прямой, - их одномоментное разделение.

Иными словами, появилась возможность разделения особого вида, когда как бы происходит вращение прямой вокруг самой себя (вокруг своей оси), как точки (рис. 11):

При этом происходит одномоментное разделение двух других линий и одной точки, не принадлежащих «вращающейся» линии.

Полученная фигура, в результате такого исключительного и последнего из всех возможных видов разделения, определяется, как тетраэдр (рис. 12).

Тетраэдр воплощает собой трехмерность или (объем).

Таким образом, в результате настоящих исследований, были получены представления о пространствах различной мерности:

- ноль-мерное пространство, его образом является точка;

- одномерное пространство, его образом является отрезок;

- двухмерное пространство, его образом является треугольник;

- трехмерное пространство, его образом является тетраэдр.

Все эти результаты, наводят на довольно-таки интересное предположение

Дело в том, что мной рассмотрена полная группа всех возможных вариантов сочетаний двух видов основополагающих и противоположных, по сути своей, разделений первичных геометрических понятий – форм, - прямой и точки:

- разделение точки на прямой;

- разделение прямой в точке;

- минимально возможное последовательное разделение точки и прямой, заключающее в себе один полноценный цикл (окружность);

- одномоментное разделение точки и прямой в особой «прямой – точке».

Выходит, что наличие двух противоположностей (точки и прямой) в едином основании геометрии (в линии или окружности), вполне естественным и необходимым образом приводит к определенной совокупности первичных геометрических образов – форм, таких, как:

- линия;

- окружность;

- прямая;

- точка;

- развернутый угол (диаметр);

- угол;

- луч;

- отрезок;

- треугольник;

- тетраэдр.

Кроме того, были так же получены представления о мерности пространств, в которых могут пребывать (занимать) разнообразные геометрические формы:

- одномерное;

- двухмерное;

- трехмерное.

Значит, трехмерное пространство, воплощает собой максимально возможную мерность геометрического пространства, и неразрывно с ним связанного – физического пространства.

Вообще, понятие мерности, применимо исключительно к конечным (ограниченным) вещам, поскольку воплощает собой, прежде всего, возможность их раздельного восприятия, или их разделения на измеряемое и меру (эталон).

Таким образом, в основе любой мерности лежит разделение. Именно поэтому любая бесконечность, даже в облике некоего «пространства», не может обладать никакой мерностью в буквальном смысле этого слова. Только поняв таинство перехода от бесконечности к конечным вещам, можно увидеть тенденцию (механизм) проявления или возникновения различных мерностей.

Хотелось бы так же обратить внимание на то обстоятельство, что именно окружность явилась тем самым Началом геометрической науки, из которого развернулись все ее первичные элементы, а так же их основные свойства.

Но, ведь, окружность, по сути своей, является двухмерной фигурой!

Действительно, двухмерность является как бы своеобразной Серединой всех возможных мерностей геометрического пространства. И это обстоятельство, в очередной раз, подтверждает предположение о том, что Начало чего-либо Единого, совсем не является его абсолютным или максимально простым элементом, например, такой, как точка в геометрии.

Кроме того, разделение в самом широком смысле, - не есть только увеличение числа (количества), но так же является и проявлением неких новых качеств.

Так или иначе, но сегодня я более, чем когда-либо близок к пониманию того, что истинным Началом может быть лишь такой элемент, от которого можно вполне естественным путем прийти как к бесконечно сложным, так и бесконечно простым элементам (частям), которые, по сути своей, являются одним и тем же!

Движение

В процессе развертывания понятия окружности в совокупность первичных геометрических форм (элементов), я обратил внимание на то, что общий ход рассуждений все время как бы колеблется и являет собой некое подобие движения обычного маятника.

Так, отклонение маятника в одну сторону, привело к разделению окружности, которая в своих двух противоположных проявлениях одной и той же единой бесконечности, привела к возникновению представлений о прямой и точке.

Затем, качнувшись в обратную сторону, амплитуда маятника несколько увеличилась, поскольку мы не вернулись обратно к исходному понятию окружности, а получили качественно новые образы, - диаметр и развернутый угол.

Качнувшись вновь в сторону разделения, маятник снова несколько увеличил свою амплитуду, поскольку мы так же не вернулись к первоначальным понятиям прямой и точки, а получили очередные качественно новые образы, - угол и отрезок и т.д.

Таким образом, весь процесс развертывания геометрии напоминает своеобразное движение по спирали, когда каждый очередной ее виток происходит все время на более «высоком уровне». И, этот процесс (эта спираль) требует некой завершенности. Принцип Полярности явно указывает на то, что такой завершенностью обладает своеобразная замкнутость процесса, как некоего единства (целостности), т.е. – окружность или круг.

Иначе сказать, развертывание единого Геометрического Мира (геометрии) из окружности в некую базовую систему первичных элементов, необходимым образом должно завершиться возвращением к понятию той же окружности. Хотя, не исключено, что полученное таким образом представление об окружности может качественно отличаться от первоначального.

Возможно, что это покажется странным, но сам ход исследований уже указывал путь, по которому единственно и возможно замкнуть Круг первичного развертывания геометрии. И случилось это тогда, когда я интуитивно провел аналогию между разделением прямой в точке, а так же точки на прямой, с неким своеобразным движением (потенциальным движением). Подобное разделение, действительно воплощает собой некое подобие движению, поскольку является лишь его тенью или предвестником.

Этот предвестник движения, подобен одномерным и двухмерным элементам, которые, по сути своей, являются предвестниками действительных трехмерных элементов (тел).

И в самом деле, можно ли считать существующими в действительности точку, отрезок или треугольник?

Конечно же, вопрос не совсем корректен, и все же …

Прежде всего, здесь идет речь о существовании идеальных линейных и плоских элементов (геометрических форм) в нашем обычном и привычном трехмерном воспринимаемом физическом мире.

Мне кажется, что актуализация мерности происходит только в трехмерном пространстве, и конкретно – в бесконечном множестве самых разнообразных тел.

Только теперь, после возникновения тел, появилась возможность актуализироваться и движению, потенция которого раннее, в процессах перехода от одной мерности к другой, уходила (расходовалась) на эти самые переходы (наращивание мерности).

Если обратиться к возможным разновидностям разделения (потенциального движения) точки и прямой, то по аналогии с ними можно легко получить три вида движения:

- вращательное;

- прямолинейное;

- составное или смешанное.

- Вращательное движение, является, по сути своей, непрерывным процессом последовательного разделения тела в пространстве относительно точки.

- Прямолинейное движение, является непрерывным процессом разделения тела в пространстве в прямом направлении (относительно прямой).

- Наконец, составное движение, является непрерывным процессом разделения тела в пространстве относительно точки и прямой вместе взятых.

Однако прямолинейное движение или движение всех элементов тела (в смысле его частей) по прямой, - есть движение по максимальной (бесконечно большой) окружности.

Вместе с тем, вращение тела относительно некоего своего центра – точки, - есть движение по минимальной окружности, т.е. – своеобразное точечное или центральное вращение.

Располагая этими крайними (максимальными) степенями проявления двух противоположных движений, достаточно легко прийти к движению по окружности, которое является Серединным и воплощает собой равные степени проявления как прямолинейного, так и центрально вращательного движения.

А это обстоятельство, означает лишь одно, - что круг наших исследований действительно замкнулся, поскольку вернулись обратно к понятию окружности, с которой и начинались настоящие исследования. Единственное, что изменилось в обретенном новом представлении окружности, - это проявление у нее нового качества, способного проявиться в таких двух взаимосвязанных противоположностях, как движение и покой.

Подобное разделение, вполне может стать Началом аналогичных исследований в другой области человеческих познаний, - в физике (механике), которая совершенно очевидным образом находится в неразрывной связи с геометрией.

Что же касается движения в геометрии, то и здесь оно нашло возможность проявиться в самых разнообразных операциях, таких, например, как:

- симметричные отображения

- перенос и перемещение

- фигуры и тела вращения и т.п.

Переход

Если попытаться производить какие-либо дальнейшие разделения (наращивания мерности), то возникают непреодолимые трудности, связанные с исчерпанием всех возможных видов разделения прямой и точки.

Однако этот тупик обосновался лишь в наших собственных представлениях.

Раннее, говоря о разделении точки и прямой, я сопоставлял этот процесс со своеобразным потенциальным их движением …

Вот именно сейчас, и пришел момент актуализации или действительного проявления «движения» трехмерных тел (далее тел), поскольку движение, само по себе, и есть качественно измененное дальнейшее разделение (или наращивание мерности). До этого момента, в ходе разделения точки и прямой, движение пребывало как бы в потенции (не проявленном виде), способствуя лишь наращиванию «мерности» пространства.

Именно «движение» тел (в наиболее широком смысле, - их «изменение»), является краеугольным моментом дальнейшего развертывания геометрии, придавая этому процессу качественно иной вектор направленности.

Хочу сразу же отметить, что когда исследователи рассуждают о движении каких-то точек прямых и т.д., - это всего лишь результат обратного проецирования действительного движения в область «геометрических элементов»…

Прежде всего, говоря о каком-либо изменении тела, совершенно необходимо обладать какой-то неизменной «точкой опоры», относительно которой и может быть только воспринято (существовать) любое изменение.

Наконец, должен существовать тот, кто способен воспринимать это изменение (в самом широком смысле). Это очень тонкий и важный момент, можно даже сказать, - поворотный момент всего процесса развертывания геометрии, поскольку актуализация (проявление) движения (изменения) тел, существенным образом влечет за собой, во-первых, - проявление «нЕчто», совершенно отличного от понятий «мерности» и «движения» (имеется ввиду относительность его характера), а, во-вторых, - вызвать (обусловить) проявление и закономерной противоположности этому «нЕчто», воплощающего собой своеобразный «центр восприятия» любых изменений тел, благодаря которому эти самые изменения и актуализируются (проявляются) в своем существовании или бытии.

Итак, неизменной (постоянной) основой любых изменений тел, является «материя».

Под материей здесь понимается особая субстанция, воплощающаяся в телах, благодаря постоянству или сохранности которой, и формируется основа, как непосредственного раздельного восприятия всевозможных тел, так и их самых разнообразных изменений (движений).

Однако материя – это всего лишь одна из двух противоположных составляющих того самого «нЕчто», давшего начало созерцаемому (воспринимаемому) или внешнему миру всевозможных тел и их изменений.

Второй, противоположной составляющей этого уникального и таинственного разделения, является дух (духовная субстанция), т.е. тот самый «центр», который и способен воспринимать или созерцать.

Таким образом, дальнейшее наращивание мерности в процессе развертывания геометрии, необходимым и естественным образом привело к проявлению процесса движения (изменения) тел, в основе которого лежит разделение качественно нового вида, - субстанционального («материя» и «дух»).

Проявление движения тел породило не только всем нам привычный окружающий действительный (актуализированный) мир, но и тот созерцающий «центр», который этот самый мир окружает, что, в общем-то, и делает его «окружающим».

Ну, хорошо, в результате субстанционального разделения были проявлены материя, воплощающая собой тела и их изменения, т.е. – объекты восприятия, а так же дух, воплощающий собой созерцающий центр или субъект восприятия.

Однако каким новым измерением пополнилась наша, уже сформированная трехмерная геометрическая система, континуум?

Прежде всего, стоит обратить внимание на то, что в результате дальнейшего разделения и развертывания, сама геометрия кардинально трансформировалась, и наиболее подходящим наименованием для нее теперь является – «физика» (физический мир).

Самым главным моментом проявления физического мира, - есть разделение некой единой субстанции (подобной бесконечности) на две ее противоположные «формы», - материю и дух, аналогичные прямой и точке в геометрии.

Думаю, что именно на тонкой грани между материей и духом, и пребывает та самая искомая новая «мерность», о которой говорилось выше.

А этой гранью между материей и духом, является совершенно новое представление – понятие, - «сознание», … сознание человека.

Изменчивая материя и неизменный (неподвижный) дух, подобно вновь соединенным прямой и точке, встречаясь в едином (для материи и духа) сознании, как в фокусе, порождают в нем качественно новое измерение, «время», точнее даже, - некий предвестник времени или его непроявленную потенцию.

И только активность самого сознания, проецирующего свое потенциальное порождение на материю и дух, актуализирует «время», проявляя его в качестве новой мерности совсем иного мира.

Время воплощает собой уникальную мерность, поскольку возникло в результате как бы обратного единения некогда разделенной единой субстанции (материи и духа), позволившее высветить новый элемент нашего развертывающегося Мироздания, - «сознание».

Сознание, подобно прямой и точке (диаметру или развернутому углу), наметило дальнейшее направление развертывания Мироздания, которому уже не совсем подходит название «физическое», поскольку в качестве основного «действующего лица», теперь будет выступать исключительно «сознание» и человек, как обладатель высшей его степени.

Таким образом, завершив цикл развертывания первичных геометрических элементов – форм, сознание проявило четырехмерный континуум (трехмерное пространство + время), или окружающий нас материальный (феноменологический) мир, а вместе с ним, - и субъект восприятия этого самого континуума.

Можно сказать так же, что материя и время, проявившиеся в результате актуализации движения тел, являются как бы естественным пределом наращивания пространственной мерности в буквальном (тривиальном) смысле этого слова …

По сути своей, сознание как бы подготовило для себя беспредельное поле своей собственной созерцательной деятельности, которое на долгие тысячелетия стало притягательным центром его внимания и познавательных интересов.

Однако, каким бы достижениями не овладел человек в окружающем его материальном мире, - это ни на йоту не изменило сути его сознания.

Сознание, воспринимающее исключительно внешний мир, обречено только на разделение материи, ее форм, качеств, а так же их изменений на «прямой времени», но никогда не сможет разделить (повернуть) саму «прямую времени» относительно себя, поскольку для подобного действа необходимы восприятия совершенно иного рода, - восприятия духа.

А без единения (соединения) этих противоположных восприятий сознания, в нем невозможно проявление каких-либо качеств, превышающих по своей мерности «отрезок», - его собственную одномерность.

Значит, четырехмерный континуум (трехмерное пространство + время), вместе с сознанием, устремленным (увлеченным) на внешний (феноменологический) мир, - «одномерным» сознанием, образует как бы пятимерный континуум…

Вот именно в таком пятимерном континууме, и существует сегодня подавляющее большинство людей.

А наиболее развитая их часть, в лице официального научного сообщества, - достигла в познании этого пятимерного континуума практически максимально возможных результатов.

Подобное утверждение, представляется мне вполне справедливым, поскольку на это обстоятельство явно указывает ряд четко наблюдаемых сегодня факторов (феноменов).

В мои планы не входит подробное изложение и раскрытие здесь этих, упомянутых феноменов.

Однако мне хотелось бы остановиться на одном из них, поскольку он является единственной возможностью действительного изменения мерности сознания.

Таким феноменом является массовое обращение внимания людей в область (мир) духа.

Мне не хотелось бы долго рассуждать на эту тему, обращу внимание лишь на то обстоятельство, что подавляющее большинство т.н. «духовно развитых» людей, являют собой противоположное проявление одного и того же, по сути своей, сознания (того же - одномерного).

В общем-то, они ничем не отличаются от обычных (материалистичных) людей, не смотря на то, что смогли овладеть (в той или иной степени) иным, противоположным видом разделения, поскольку намеренно избавились (или стремятся избавиться) от всевозможных разделений во внешнем мире, причисляя их к иллюзиям, при этом, продолжая разделять мир духа.

На самом деле, подобное избавление от воспринимаемого (феноменологического) мира, и есть такая же иллюзия, как и у первых (обычных людей), только вывернутая наизнанку.

Так или иначе, но ни одним, ни другим видом разделения в отдельности, в одном и том же сознании, - его мерность не изменить! Не возможно прийти к понятию двумерного треугольника, оперируя исключительно только либо разделением точки на прямой, либо разделением прямой в точке.

Качественно новое сознание, его более высокая мерность (двухмерность) может проявиться исключительно лишь в единстве (соединении) этих двух противоположных видов разделения.

Помните основное содержание всякого цикла в процессе развертывания любых мерностей, - сначала разделение и проявление крайних степеней полученных противоположностей, а затем, их обратное объединение, но уже в совершенно новом качестве. Все это действо напоминает раскачивающийся маятник, набирающий свою мощь (амплитуду), и увеличивающий область своего существования.

На основании всего вышеизложенного, можно предположить, что наиболее потенциально способными повысить мерность своего собственного сознания, являются ученые или достаточно образованные люди (по современным меркам), сознательно обратившие острие своего внимания на духовный мир, смещая при этом свою «точку опоры» из мира материи, не просто в сторону мира духа, а на грань (границу) между ними, воплощающую в себе естественное единство обоих миров.

Только подобное единство двух миров (материи и духа) в разделяющем их сознании, единственно и способно качественно изменить его, проявив новую мерность («двумерное сознание»). В очередной раз, овладение «серединой», проявляет качественно новые и уникальные возможности в процессе развертывания …

Двумерное сознание является основой проявления следующего, - шестимерного континуума.

Значимость и содержание такого перехода сознания, трудно описать обычными словами.

Образ соотношения отрезка и треугольника, является лишь тенью истинного отличия одномерного и двумерного сознания.

Кроме всего прочего, достижение сознанием своего двумерного уровня развития, предоставляет ему же вполне ясные и четкие перспективы освоения трехмерного уровня и, соответственно проявления семимерного континуума.

Все разделения в сознании, о котором я здесь говорил, по сути своей, воплощают собой предвестник особой формы потенциального (непроявленного) «движения», - «мышления».

А возможные мерности самого разделяющего сознания, проявляют уровень этого самого мышления, так, что, чем больше мерность сознания, тем выше уровень мышления.

Сегодня могу лишь предполагать, что, достигнув уровня трехмерного сознания, наступает черед актуализации (проявления) мышления (мыслеформ), для которой необходима особая единая субстанция, воплощающая собой единство материи и духа …!

Актуализация мышления должна стать основой проявления восьмимерного континуума…

Трудно подобрать удачные образы, чтобы достаточно ясно и четко показать процесс этой стадии развертывания континуума, но то, что Круг этого процесса должен замкнуться, мне представляется совершенно очевидным.

Начиная с окружности, мы развернули континуум до проявления в нем движения, которое, в наиболее общем случае, - есть движение по окружности (вращение) и, которое разделило некую единую субстанцию на материю и дух.

Теперь, начав с движения, мы развернули континуум до проявления в нем мыслеформ, которые, в наиболее общем случае, - есть единство материи и духа, - Бог, который воплощает собой единство Всего!

Когда уже написал основную часть материалов, вдруг, неожиданно понял простую вещь, которая поначалу ускользнула от моего взора.

Как это ни странно, но образ окружности, проистекает из самого Принципа Полярности, точнее сказать, - он сам собой являет ее воплощение.

Такая самодостаточность Принципа Полярности, является действительно уникальной и удивительной.

В конечном счете, выходит, что все результаты, полученные в ходе настоящих исследований, естественным образом развернулись (были получены) из одного единственного Принципа, подобно тому, как у Н. Кузанского, все множество натуральных чисел (десятирица) проистекает из четверицы (первых четырех чисел: 1, 2, 3, 4).

26.11 - 15.12.2004 г. Всего доброго.