Задачка с кошками и собаками

Предлагаю отвлечься от глобальных забот и решить детскую задачку. Ведь нам, гуманитариям, тоже иногда надо напрягать свои извилины путем переключения с одной деятельности на другой. Так мы занимаемся профилактикой Альцгеймера. 

Это элементарная задачка из старой книги с головоломками. Не заглядывайте сразу в ответ, вам понадобиться лишь минутка времени, чтобы самому ее одолеть. Ее можно решить даже простым рассуждением, без всякой алгебры. Смысл именно в том, чтобы найти красивое решение, не занимаясь перебором вариантов. Собственно этим она мне и понравилась. В решениях приведу ответ из книги (1), и свои решения (2 и 3). Возможно, кто-то рассуждал совсем по-другому, было бы интересно послушать.

Итак, десяти собакам и кошкам скормили 56 галет. Каждой собаке досталось 6 галет, каждой кошке -  пять. Сколько было собак и сколько кошек?

РЕШЕНИЯ

1. оригинальное из книги:

"Решение, которое я имею в виду, таково. Сперва скормим каждому из десяти животных по 5 галет. У нас останется 6 галет. Но теперь все кошки получили причитающуюся им долю! Значит, 6 оставшихся галет предназначаются собакам. А поскольку каждому псу должно достаться еще по одной галете, то, следовательно, собак — 6, а кошек — 4. Конечно, это решение легко проверить. В самом деле, если 6 собак слопают по шесть галет, на это пойдет 36 галет. Четыре кошки, каждая из которых довольствуется 5 галетами, съедят 20 галет. В сумме это составит 56 галет, как и должно быть".

2. У нас есть всего 10 животных, теретически допустим, что они все собаки, каждая из которых съедает 6 галет. Получаем абсолютно максимально возможное количество галет для 10 хвостов: 6х10=60. Находим разницу с данными, которые у нас имеются 60-56=4. Если каждая кошка съедает на одну галету меньше, чем собака, то число 4 и есть количество кошек, следовательно собак 6.

3. Мы имеем уравнение а+b=56, где "а" - число кратное 6 (собаки) , "b" - кратное 5 (кошки). В этом случае, "a" может как бы оканчиваться или на 1, или на 6. Но поскольку никакое множество шестерок не может быть кратно числу с единицей на конце, остается только вариант с окончанием на 6. Для "а" у нас имеется только два варианта, кратных 6 и с окончанием на 6, это 6 и 36. И только 36 подходит под условия задачи, что дает решение в 6 собак и 4 кошки.