СТО И ОТО на одной странице

СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ на одной странице.

Тут как раз все очень просто.

Основа СТО составляет псевдоевклидова 4-х мерная геометрия пространства-времени, где метрика, а именно квадрат расстояния длины между ближайшими точками в декартовых координатах определяется таким образом:

По сути это все та же теорема Пифагора, но тут знаки у квадратных членов не все одинаковые у квадратичных членов.

Постоянная c (скорость) перед членом со временем тут возникает для размерности.

Переход в произвольную систему координат дает более общую запись линейного элемента:

Переход в другую систему координат (СК) это:

От    x,y,z  – к  -   x',y',z' и от  t – к  -  t'

То есть отдельно меняются пространственные координаты, отдельно время.

Переход в другую систему отсчета (СО) это:

От    t,x,y,z  -  к -   t',x',y',z'

Тут координаты и время меняются совместно с помощью гладкой функции.

Все функции перехода должны быть допустимые, то есть гладкими и с ненулевым якобианом.

Переход из ИСО (инерциальная система отсчета) в ИСО это когда вид метрики (1) не меняется.

Сюда относится и преобразования Лоренца.

В других случаях это переход в НЕ ИСО. Тогда же появляются силы инерции.

Длина s в 4-мерии по смыслу собственное время частицы умноженное на постоянную c и отсюда сразу понятен «парадокс близнецов».

В классическом виде СТО формулировалось Эйнштейном, Пуанкаре, Минковским именно в виде (1).

Собственно всё. Преобразования Лоренца, Группа Пуанкаре, разное время жизни частицы в разных СО, сокращение стержня в движущейся СО, "парадокс близнецов" и другие оригинальные вещи СТО - это свойства псевдоевклидовой геометрии и выводятся из метрики (1) чисто математическими способами.

Например:

Парадокс часов (близнецов) – заключается в том, что длина мировой линии s у разных часов в 4-х мерном пространстве-времени может быть разной, хотя  начальная и конечная точки могут иметь одинаковые координаты.

Переход в другую инерциальную систему отсчета – это поворот на фиксированный угол в плоскости TX (TY или TZ). Сразу получаем Преобразование Лоренца.

И так далее.

Также же можно рассматривать ускоренные движение частиц, вращение диска, ускорение стержня и другие задачи.

Есть еще одна геометрическая характеристика 4-пространства-время: Тензор кривизны Римана и он тождественно равен нулю, R_{ijkl}=0.

Спросите, а почему же мы живем в мире с такой геометрией – так он устроен, этот мир!

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ    на одной странице.

Тут немного (на порядок) сложнее, но попробую. Вселенная базируется на 4-мерной псевдоримановой геометрии и метрика в общем случае записывается так:

10 метрических функций g_{ij}  определяется из сложной системы уравнений Гильберта-Эйнштейна. Это основная проверяемая гипотеза.

Вид (3) можно привести к диагональному виду с сигнатурой (+---) , но

диагональные функции не будут постоянными и вид (3) нельзя привести к виду (1), а тензор кривизны Римана отличен R_{ijkl} от нуля.

Даже в локальной области можно выбором системы координат убрать первые производные g_{ij} по координатам, и тогда уравнение движение точки будет совпадать с уравнением движения в плоском пространстве-времени, то есть в СТО. При этом символы Кристоффеля уничтожатся. Это в сущности и есть один из вариантов "Принципа эквивалентности".

Однако нельзя одновременно уничтожить вторые производные и высших порядков. Поэтому в задачах и уравнениях, где они стоят, принцип эквивалентности не работает, гравитация остается.

Например, они есть в уравнениях девиации (отклонения геодезических).

Сложности теории. Их достаточно много. Скажем:

1. Геометрия в ОТО не задана с самого начала. Она находится в инволюции. Она зависит от состояния вещества, от распределения, от начальных данных.

2. Движение вещества выводится из уравнений гравитации в отличие движений частиц в других полях.

3. Уравнения получают в локальной карте, а карт может быть несколько, поэтому всю топологию мы не знаем. Тут возникает неоднозначность.

4. В теории возникают сингулярности – бесконечно большие скалярные величины.

5. Энергия гравитационного поля не локализована и уничтожается выбором системы координат.

..И много других сложностей.

Наконец есть БИМЕТРИЧЕКИЕ ТЕОРИИ, куда входят обе метрики. Но это другая история.