Шестнадцатеричная система счисления. ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕМЫ –Что такое двоичная система счисления.

Шестнадцатеричная система счисления, так же как и двоичная, широко используется в компьютерной технике из-за легкости перевода в нее двоичных чисел. При шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными.

В шестнадцатеричной системе счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, двоичное число разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. (четыре разряда—это пол байта). В случае, если количество разрядов не делится нацело, то первая четверка( самая левая) дописывается нулями впереди (слева). Каждой четверке соответствует цифра шестнадцатеричной системе счисления: Чтобы не было путаницы, при записи чисел в системах счисления отличных от десятичных, справа внизу от основной записи числа будем указывать основание системы счисления. Пример-- 34510, 2А44С16. Где А и С являются шестнадцатеричными цифрами. А 10 и 16--это основание СС.

Раз основанием системы является число шестнадцать, значит, для изображения чисел нам потребуется шестнадцать цифр.

Таблица соответствия двоичных и . шестнадцатеричных чисел:

Смотрим на приведенную таблицу: после 9 идут латинские буквы A, B, C, D, E, F. Формулирую правило—в двоичной системе счисления (СС) — две цифры 0 и 1. В десятиричной СС— десять цифр—от 0 до 9. В шестнадцатиричной СС—16 цифр. От 0 до 9—это привычные для нас цифры, а дальше латинские буквы A, B, C, D, E, F. То есть латинские буквы A, B, C, D, E, F—это цифры 16СС.

А16=10(10), В16=11(10), С16=12(10), D16=13(10), E16=14(10), F16=15(10). То есть в шестнадцатиричной СС старшая цифра—F. Вспоминаем правило: в любой СС старшая цифра +1=10. То есть F16+1=10(16). Примечание:В данном абзаце и далее в скобках --это основание СС. Когда я набирал данный текст у себя на компьютере то основание СС было хорошо различимо --внизу рядом с цифрой. Когда я начал процедуру публикации текста на КОНТЕ то основание СС  изображается такого же размера как и цифра. Причем, что самое непонятное, в некоторых местах текста основание СС хорошо выделяется, а в некоторых местах имеет одинаковый размер с цифрой возле которой стоит. Поэтому пришлось  ставить скобки чтобы показать что это основание СС.

запишем это в виде 0 и 1: F16=1111. F+1=1111+1= 1 0000—дописываем слева нули(каждая цифра –это 4 разряда)=0001 0000.—это 10(16). Чтобы не запутаться уточняю: 0001 0000— это двоичная СС. Здесь записаны две 16 ричные цифры—1 и 0. Получили 10(десять)— в 16СС. В десятичной СС—10=9+1=А(16). В двоичной СС: 1+1=10(2).(говорим один-ноль).

Попробуем посчитать дальше:15(10)=F16 16(10)=10(16)  17(10)=11(16)  18(10)=12(16) ... И ТАК ДАЛЕЕ, 25(10)=19(16)  26(10)=1A(16)  27(10)=1B(16).... И ТАК ДАЛЕЕ, 30(10)=1E(16)  31(10)=1F(16)  32(10)= 20(16)  33(10)=21(16)... И ТАК ДАЛЕЕ, 255(10)=FF(16)  256(10)=100(16)  257(10)=101(16). и так далее.

РАЗБЕРЕМ В ЭТИХ ПРИМЕРАХ СЛУЧАИ, КОГДА ПОЯВЛЯЕТСЯ ЕДЕНИЦА ПЕРЕНОСА В СТАРШИЙ РАЗРЯД. Это будет всегда, когда счет доходит до буквы “F”. 15(10)=F(16). прибавляем 1. 15+1=1111+1=16=1 0000=0001 0000=10(16). То же самое с цифрами 2F, 3F, 4F...FF...

Рассмотрим несколько примеров :

1)-- перевести двоичное число в 16 ричное.

100110001012 =справа-налево разбиваем по 4 разряда= 0100 1100 0101 = 4С5= 4C5(16).

Вспомним предыдущую статью (Что такое двоичная СС) и переведем это же двоичное число в 10 СС.

Привожу таблицу-- два в степени “Х”: это для удобства. В скобках изображена степень числа.

2 в степени 0=1. 2(1)=2. 2(2)=4. 2(3)=8. 2(4) =16. 2(5)=32. 2(6)=64. 2(7)=128.  2(8)=256.  2(9)= 512. 2(10)=1024. 2(11)=2048. 2(12)=4096. 

ВСЕГО в приведенном числе 11 разрядов. Самый правый –НУЛЕВОЙ. Самый левый—ДЕСЯТЫЙ. Вспоминаем правило— ВЕС РАЗРЯДА РАВЕН--основание СС в степени 0,1,2 и тд. Пишем формулу--

100110001012 =1*2(10)+1*2(7)+ 1* 2(6)+1* 2(2)+1* 2(0)=1024+128+64+4+1=1221

это мы перевели двоичное число в десятичное.

Если потребуется, то число 4C5 можно перевести в десятичную систему счисления следующим образом (“С” следует заменить на соответствующее данному символу число в десятичной системе счисления – это 12): основание СС—16.

16 в степени 0=1. 16(1) =16. 16(2)=256. и так далее.

4C5 = 4 * 16(2) + 12 * 16(1) + 5 * 16(0) = 4 * 256 + 192 + 5 = 1221

Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи - это FF=1111 11112=255.

255 – это максимальное значение одного байта, равного 8 битам: 1111 1111 = FF. Поэтому с помощью шестнадцатеричной системы счисления очень удобно кратко (с помощью двух цифр-знаков) записывать значения байтов. Внимание! Состояний у 8-ми битного байта может быть 256, однако максимальное значение – 255. Не забывайте про 0 – это как раз 256-е состояние.

ПРИМЕР 2. Перевести число двоичное 0101110 в шестнадцатеричное представление.. Для этого разделим исходный код на группы по 4 разряда, начиная с младшего разряда.

01011102 = 0010 1110( 2)--В скобках основание СС.

Затем заменяем каждую группу на код из таблицы.

Получаем число: 0010 1110 (2) = 2E(16).

Теперь немного поговорим что такое БАЙТ. БАЙТ-это 8 двоичных разрядов. В памяти компьютера информация в байтах. Выше мы разобрали, что каждая цифра 16СС занимает 4 разряда. А каждый символ который используется в компьютере занимает 8 разрядов—то есть 1 байт. В том числе и символы 16СС. То есть если мы говорим о 16СС теоретически(абстрактно) то каждый знак этой системы занимает 4 разряда. От 0000 до 1111. Но когда мы говорим об этих же знаках в памяти компьютера—то мы говрим, что каждый знак занимает 8 разрядов( один байт). Примеры:

0000 превращается в 00000000

0001 превращается в 00000001

1010 превращается в 00001010—это- А- цифра 16СС. Есть еще буквы А—латинская и А—русское. Они изображаются по другому. Об этом чуть ниже.

...............................................

1111 превращается в 00001111—это F цифра 16CC. Если кому режет слух, что F это цифра, называйте ее символом 16СС. Есть еще буква F. Она изображается про другому.

Всего в байте можно записать 256 символов. Эти символы можно найти в специальных таблицах—ASCI—называются –таблицы аски кодов. Примеры из этих таблиц: латинские буквы—

А—01000001. B—01000010. C—01000011. D—01000100. F—01000110. Русские буквы –А—11000000. Б—11000001. Ф—11010100.