О размерностях физических величин.

Писал я все комментарии о том, почему угол, измеренный в радианах есть безразмерная величина, в адрес "правильных физиков" https://cont.ws/@d-pi/2508276#... но полагаю, что уже вышел за пределы этого формата. Потому - вот развернутый ответ Чемберлену.

Не стоит путать понятия "единица измерения" и "размерность величины". Это далеко не одно и то же. Совсем не то.

Есть единица измерения угла - радиан. Или градус. Или град. Или румб. Любой угол может быть выражен каким-либо числом этих единиц и осуществлен перевод одной в другую умножением на коэффициент. Можно сделать эталон любой из величин и пользоваться им для определения углов. Это основы метрологии.

Теперь вопрос об размерности угла.

Смотрим на таблицу мер из ГОСТ, и видим, что любая величина имеет размерность в виде L (длина)*M(масса)*T(время) в какой-то степени каждая, не исключая нуля.

И например, рост Даламара в этой системе всегда будет иметь размерность L (длины), в каких попугаях его бы не измеряли. Т.е. L^1 * M^0 * T^0. И никуда эти размерности не денутся.

Какую же тогда _размерность_ будет иметь угол? А вот такую - L^0 * M^0 * T^0. Т.е. у угловой меры нет ни длины, ни времени, ни массы. Но, может быть, нужна четвертая размерность - собственно сам угол? Не нужна!

По идее, можно было бы дописывать радианы во все формулы, где есть углы, однако в этом нужды нет. Т.к. они не меняют итоговую размерность. Ватт, умноженный на радиан - это все тот же Ватт. Поэтому радиан и не пишут. Можно углы измерять в градусах, оборотах или еще в чем-то, то формулы физических законов изменятся, в них появятся коэффициенты 2пи, 180 и т.д. Но размерности полученных величин останутся теми же. Вот именно радиан и взят за основную меру потому, что тогда этих коэффициентов остается минимум.

Еще то, что у угла нет размерности (точнее, что она равна просто единице) хорошо доказывается следующим. Углы часто входят в формулы в виде тригонометрических функций. Чему тогда будет размерность у синуса угла, не подскажете? А если угол не безразмерен, то она обязательно должна быть! Размерность не может исчезнуть при математических операциях!

А в некоторые формулы электротехники угол входит вообще в виде экспоненты, де еще умноженный на мнимую единицу. Результат потом выходит действительный, но сможете ли разложить эту величину на LMT? Или е в степени мнимого радиана? тут уже получается как в анекдоте про Чапаева: "Я не то что разложить - я представить даже такое не могу".

Поэтому у угла размерности НЕТ! Но единица измерения есть.

Сможете предложить контрпример функции (как синус угла), чтобы скажем, исчезла размерность массы? Или времени? Не сможете - на этом даже построен метод анализа размерностей.

Запросто можно сделать и иные величины безразмерными. Сейчас я буду вертеть всю систему мер на ... ну на одной из величин, сделав ее безразмерной. И физика от этого не пострадает.

Скажем, единицу длины я возьму с размерностью времени. Скажем 1 секунда длины - это расстояние, проходимое светом за 1 секунду. Определение самой секунды оставим прежним - 9 192 631 770 периодов некоего излучения. Кстати, астрономы давно так делают, определив единицу длины "световой год". И эталон сделать можно - засечь точку начала светового луча и его положение через 9 192 631 770 периодов (их можно посчитать). Релятивистские эффекты опустим, их можно при таком опыте учесть, и дело не в этом. Например, расстояние от Москвы до Питера будет равно 2 миллисекунды.

Теперь расстояние у нас в секундах.

Считаем теперь скорость, как обычно. V=S/t. Какая тогда будет у нее размерность? Да получается - никакая. Секунда на секунду. Безразмерная.

Физически эта величина соответствует скорости света. Ну обозначим ее "це". Тогда 1 микроце - это примерно будет скорость звука. 3-4 наноце - скорость пешехода. А превышение скорости автомобилем в 75 наноце в городе может привести к штрафу. Видим, что такой единицей скорости вполне можно пользоваться.

Посмотрим, за сколько теперь можно проехать расстояние в 2 миллисекунды (Москва-Питер) со скоростью 75 наноце.

2*10^-3/75*10^-9= 26667 секунд. Так, как с секундами я ничего не делал, то это должны быть вполне нормальные секунды, которые можно перевести в часы. 7,4 часа. Да, вполне похоже.

Теперь проверим, работает ли это вообще на более сложных формулах.

Смотрим теперь размерность ускорения, известно, что это скорость, деленная на время. Скорость у нас безразмерна теперь, значит ускорение будет просто 1/с. Или с^-1. Ее тоже можно как-то назвать, но не будем.

Проверим такую вот формулу равноускоренного движения.

S=v0*t+at^2/2.

Подставляем размерности:

Скорость - нет размерности.

Время - с.

Ускорение - 1/с.

Должен получить размерность длины (а у меня она - секунда).

[пусто или 1]*[с] + [1/с] * [c]^2= [c] + [c] = [c]. Так и есть. Размерности совпали. При этом моя безразмерная единица "це" или "наноце" здесь на фиг не нужна. Как и радиан в СИ.

Заметим, что я абсолютно нигде не использовал ни понятия метра, дюйма, аршина или метра в секунду и т.д. И скорость сделал безразмерной. Но физика все так же работает.

А теперь дальше. С чего это я взял, что единица времени должна быть именно 9 192 631 770 периодов? Потому что некие шумеры 5000 лет назад придумали такой промежуток времени? Да ну их. Пусть теперь единицей времени будет ОДИН период. Одна штука. Как известно, если что-то измеряется в штуках, то иные размерности не нужны. Поэтому секунду вместе с метром - тоже долой.

Тогда базовая единица длины (безразмерная теперь!) будет примерно равной в два пальца. Удобно. Скажем - теперь это называется  "одна хреновина".

Время, правда коротковато. Один удар сердца будет в 10 гигахреновин. Да ладно. У нас уже и петабайты в ходу.

Так. С размерностями длины и времени мы покончили. Осталась масса. А она нужна, чтобы  силу и энергию вычислять. Конечно, массу можно сделать безразмерной очень просто, разделив ее на какую-нибудь "природную" меру, скажем массу протона. Но это неинтересно. Поэтому, делить ее мы будем на величину, называемую массой Планка.

 Масса Планка — единица массы в планковской системе единиц. Частица с такой массой имеет гравитационный радиус в π  раз меньше комптоновской длины волны. Что это за термины - предлагаю загуглить читателю, однако в этом определении есть ТОЛЬКО единицы длины. А они у меня уже безразмерны. Масса Планка примерно равна дозе кислоты, необходимой для того, чтобы словить легкие глюки. Небольшая то есть.

Итого. Я избавился от размерностей всех трех основных единиц механики - L,M,T. Соответственно, все остальные величины также будут безразмерны - сила, энергия, работа.... Чтобы измерять все, что угодно - мне не нужны никакие меры, кроме одного атома цезия. Надо только смотреть на него, и считать периоды излучения.