Краткое введение в специальную теорию относительности

Теория относительности и квантовая механика - триумф физики XX века. Одновременно это именно та самая стадия развития этой науки, при которой она становится сложной, даже очень. Наивно и с нахрапом её уже не поймёшь, дешёвые аналогии и описания уровня комиксов для детей перестают работать.

К сожалению, многие этого совершенно не понимают, думая, что сложную теорию можно понимать как попало и не никак ошибаться при этом. Увы, увы, увы. Не получается. А некоторые ещё и критиковать пытаются из глубин своего недопонимания.

В школе ТО практически не проходят. Ну как, чуть-чуть на пальцах объясняют - и то счастье. Но этого сильно мало для понимания. Я решил кратко описать кой-какие основы СТО. Совсем по-простому, к сожалению, объяснить не получится, но тот, кто хочет адекватно воспринимать теорию, должен быть готов к чему-то значительно более сложному, чем таблица умножения.

Ньютоновская механика

Каждая точка трёхмерного пространства задаётся тройкой координат x=(x1, x2, x3). Если есть некая движущаяся материальная точка, то её положение описывается векторной функцией времени x(t). То есть x(t) - это параметризованный величиной t кортеж трёх значений (x1, x2, x3).

Мгновенная скорость точки - это производная по времени: v(t)=x'(t)=(x1'(t),x2'(t),x3'(t)).

Ускорение точки (скорость изменения скорости) - это производная скорости (вторая производная координат): a(t)=v'(t)=x''(t).

Если движение равномерное, то ускорение равно нулю: x''(t)=0. Далее решаем это дифференциальное уравнение двойным интегрированием и получаем: x(t)=x0+vt, где x0 - начальное положение (в момент времени t=0), v - постоянная скорость (векторная величина). Для равноускоренного x''(t)=a (a - постоянная векторная величина ускорения) аналогичным образом получаем x(t)=x0+vt+at^2. Собственно, подобные формулы должны быть всем знакомы со школы, только в школьном курсе их рассматривали как скалярные (одно число - модуль-длина вектора), а не векторные (три компоненты разложения по координатным векторам).

Таким образом, мы имеем в каждый момент времени четвёрку чисел (x1, x2, x3, t), которая описывает положение точки в пространстве-времени.

Системы отсчёта

В классической механике все инерциальные системы отсчёта (ИСО) движутся друг относительно друга с постоянной фиксированной скоростью, и положение точки в другой системе отсчёта (СО) определяется как y(t)=x(t)+wt (w - вектор скорости движения одной СО относительно другой).

Для равномерного движения получаем: y(t)=x0+vt+wt, y'(t)=v+w=x'(t)+w - координаты и скорости просто складываются. Но даже для неравномерного движения получим y'(t)=x'(t)+w=v(t)+w - то есть скорости при переходе в другую СО просто складываются.

Вторым дифференцированием получаем ускорение y''(t)=x''(t)=a(t) - то есть ускорение в любой другой системе отсчёта будет одинаковым и неизменным.

Ньютоновская физика очень проста для интуитивного понимания, потому что в ней нет никакой зависимости от величин скоростей, и то, что работает на движении медленно ползущей черепахи, так же точно работает на сверхзвуковом самолёте и на фотоне света. К сожалению, экстраполировать движение черепахи на движение шпарящего с гигантской скоростью фотона нельзя. А все "ниспровергатели" ТО именно этим и занимаются, наивно думая, что на примере черепахи можно понять движение света.

Преобразование Галилея

В ньютоновской физике мы имеем следующее преобразование систем координат между различными ИСО x(t)->y(t) (так называемое преобразование Галилея, тут v - вектор скорости движения одной ИСО относительно другой):

y1=x1+v1t
y2=x2+v2t
y3=x3+v3t

Однако есть ещё четвёртая компонента - время:

T=t0+t

Тут t0 - разница во времени между системами отсчёта. Но так как разница постоянна, обычно считают её равной нулю, и время в обеих системах отсчёта идёт одинаково.

Таким образом, в классической механике мы имеем преобразование пространства-времени (x1,x2,x3,t) -> (y1,y2,y3,T), где T=t (время неизменно).

Важным свойством преобразования Галилея является сохранение расстояний: выражение s^2=(y1-x1)^2+(y2-x2)^2+(y3-x3)^2 не зависит от ИСО, то есть инвариантно.

Преобразование Лоренца

А теперь переходим к теории относительности. Тут четвёрка показателей состояния точки в пространстве-времени изменяется по другому закону, более сложному (преобразование Лоренца). Для простоты его обычно записывают в такой системе координат, в которой новая система отсчёта движется со скоростью v вдоль одной из осей (иначе формулы будут выглядеть очень громоздко):

y1=(x1+vt)/sqrt(1-v^2/c^2)
y2=x2
y3=x3
T=(t+vx/c^2)/(1-v^2/c^2)

Заметили, что преобразование t в T больше не изменяется линейно? Это и есть то самое неодинаково текущее время в разных системах отсчёта!

Когда скорость v значительно ниже скорости света, то преобразование Лоренца вырождается до преобразования Галилея, потому что величина в v^2/c^2 практически неотличима от нуля, y1 незначительно отличается от x1+vt, а T - от t.

А теперь - к скорости. Если раньше мы имели скорость x'(t), то при переходе в другую систему координат скорость будет y'(T) - это будет производная по другой переменной! То есть мы не просто прибавили к одной скорости другую скорость в одной шкале времени, а сделали замену переменной. Именно в этом обстоятельстве и скрывается типичная ошибка незнакомых с ТО людей, пытающихся воспринимать скорость в разных ИСО как скорости в одной. В ньютоновской механике это прокатывало, а тут - не прокатит.

Расписывать производную по времени в случае преобразования Лоренца я не буду - слишком уж громоздко. Просто приведу наиболее интересующий нас результат. Итоговая формула сложения скалярных величин скоростей будет такой:

v=(v1+v2)/(1+(v1v2)/c^2)

Если в качестве одной из скоростей подставить скорость света, то получим:

v=(v1+c)/(1+(v1c)/c^2)=(v1+c)/((c+v1)/c)=c

То есть если одна из скоростей световая, то сумма всегда будет по величине равна скорости света. В любой системе отсчёта скорость света будет равна одному и тому же значению. Ничего не напоминает? Да, это тот самый второй постулат Эйнштейна, по которому скорость света не зависит от системы отсчёта.

Модель пространства-времени, в котором переход между системами координат осуществляется по правилам преобразования Лоренца, и есть аналитическое решение аксиоматики (постулатов) Эйнштейна. Как и завещала нам теорема Гёделя о полноте, непротиворечивая система аксиом всегда имеет модель. Бессмысленно "доказывать", что в теории относительности есть какое-то внутреннее якобы "противоречие", потому что его там принципиально не может быть.

Релятивистская погрешность

Что будет, если скорости v1 и v2 существенно ниже скорости света? Величина выражения в знаменателе 1+v1v2/c^2 будет практически неотличима от 1, и мы получим v~v1+v2.

Реальная погрешность такого допущения определяется отношением v1v2/c^2. На встречающихся в практической жизни обычного человека скоростях эта величина настолько ничтожна, что вы её никогда сами не обнаружите ни одним бытовым прибором. Более того, она ничтожна дажа на весьма больших по человеческим меркам скоростях!

Например, скорость обращения Земли вокруг Солнца - около 30 км/с. Это больше первой, второй и третьей космических скоростей, между прочим, но 30*30/c^2=10^-8 - одна стомиллионная! И сокращение суммы скоростей составит 1-1/(1-10^8)~10^-9 - не более одной миллиардной!

А вот и более приземлённый (в прямом и переносном смысле) пример: пусть едет автомобиль с неразрешённой на наших дорогах скоростью 50 м/с (180 км/ч), и находящийся в нём человек стреляет из ружья (начальная скорость пули до 1000 м/c). Погрешность релятивистской суммы таких скоростей составит менее 10^-12, то есть менее одной триллионной. Может ли спидометр вашего автомобиля обнаружить такую разницу? Можно не отвечать - вопрос риторический.

Вот, например, штангенциркуль позволяет мерить объекты в лучшем случае с точностью до 0.05 мм. А что такое 10^-12 для штангенциркуля длиной 20 см? Это 0.000000002 мм.

Или, например, одна триллионная длины экватора нашей планеты - это жалкие 4 сантиметра. Для сравнения, одно только изменение железнодорожного рельса километровой длины от суточных перепадов температур составляет величину порядка 1 см.

В общем и целом получается, что на практике вполне можно почти всегда пользоваться обычной ньютоновской физикой и не испытывать никаких проблем. Но есть ситуации, когда этого недостаточно, и релятивистские эффекты могут давать неприемлемую погрешность. Например, учитывать теорию относительности нужно

… при высокоточных астрономических наблюдениях
… при высокоточных измерениях времени
… при изучении частиц в ускорителях
… в оптике при исследовании оптических эффектов

Псевдоевклидовы пространства

Для дальнейшего обсуждения нам потребуется ещё немного теоретических понятий.

Метрическим пространством называют множество с дополнительной функцией (метрикой), удовлетворяющей некоторым условиям (в частности, "правилу треугольника" s(p1,p2)<=s(p1,p3)+s(p3,p2)). Грубо говоря, метрика - это "расстояние" между точками множества. Всем хорошо известное евклидово пространство R^3 - это метрическое пространство размерности 3 с метрикой s(p1,p2)=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2). А любое другое n-мерное пространство R^n - с аналогичной метрикой, где под корнем сумма квадратов разниц по всем координатам.

Переход между инерциальными системами отсчёта в классической механике сохраняет метрику, она инвариантна относительно изменения системы координат.

Идея евклидова пространства может быть расширена путём замены части плюсов в выражении под корнем на минусы. Такое уже совсем не метрическое пространство (ибо правило треугольника нарушается) называют псевдоевклидовым R(n,m), где n - число положительных слагаемых, m - число отрицательных. Правда, тут возможна ситуация, когда квадратный корень придётся извлекать из отрицательного числа, поэтому обычно в них рассматривают так называемый "квадрат интервала" (то же самое, но без извлечения квадратного корня), который может быть равен нулю или даже быть отрицательным.

Обычное пространство R^n можно воспринимать как вырожденный случай псевдоевклидова пространства R(n, 0).

Пространство Минковского

В 1907 году математик Герман Минковский предложил в качестве модели теории относительности "пространство-время" R(3, 1) с аналогом "метрики-расстояния" в виде квадрата интервала s^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2-c^2(t2^2-t1^2). Преобразование Лоренца для этого пространства сохраняет квадрат интервала.

Замечание. Вообще говоря, иногда эту формулу вводят с противоположными знаками: с минусами пишут пространственные компоненты, а с плюсом - временную, то есть в качестве пространства-времени рассматривают R(1, 3). Принципиального значения этот нюанс не имеет.

Таким образом, набор (x, y, z, ct) - это четыре координаты единого пространства-времени в псевдоевклидовом пространстве R(3, 1).

Такая модель позволяет представлять релятивистские эффекты геометрически. Но сначала ещё немного определений.

Множество точек пространства, где квадрат интервала равен нулю, называют световым конусом. Поскольку представить себе четырёхмерный конус сложно, то вот для лучшего понимания трёхмерный световой конус пространства R(2, 1):

Свет всегда движется по световому конусу (фактически каждая линия его вертикального сечения представляет из себя график функции r=ct, где r - ось на пересечении секущей плоскости и плоскости t=0). Все другие так называемые "события" (точки в пространстве Минковского) могут быть "временеподобными" или "пространственноподобными" (но не одновременно). Это значит, что в некоторой системе отсчёта они происходят в одно время (но в разных местах) или в одном месте (но в разное время).

События обоих видов относительно события в вершине конуса находятся по разные стороны светового конуса. Cнаружи находятся временеподобные события. В некоторых системах отсчёта они могут быть одновременны с событием в вершине конуса, в каких-то могут происходить до него, а в иных - вообще после него. Внутри верхней части конуса находится так называемое "абсолютное будущее" - эти события никогда не могут стать "прошлым" относительно вершины конуса ни в какой системе отсчёта. Нижняя часть конуса, соответственно, это "абсолютное прошлое", которое никогда не станет "будущим".

Кажется, что тут есть какой-то подвох и нарушение причинно-следственной связи? Но это иллюзия от невнимательности. Например, есть два события, которые происходят в моменты времени t1<t2, а в другой системе отсчёта t1'>t2', как так может быть, что их порядок изменился? Но всё дело в том, что эти события временеподобны, а не пространственноподобны, поэтому в пространстве они никогда между собой совпасть не могут и повлиять друг на друга не могут.

Если в событиях есть причинно-следственная связь, то есть связь и пространственная, а, значит, события пространственноподобны. Например, снаряд падает на здание, взрывается, здание разрушено - эта последовательность никогда не нарушится ни в какой системе отсчёта. Не может быть так, что здание сначала взрывается, а потом в него попадает снаряд - нет таких систем отсчёта и не может быть.

Сложно представить? Да, не очень-то просто. Но нам поможет геометрия! При переходе в другую систему отсчёта координатные оси пространства-времени изменяются, в результате то, что было одновременно или одноместно в некоторой системе отсчёта, может стать совсем не одновременным и не одноместным. Вот так это выглядит в пространстве Минковского (для наглядности рассматриваем плоский вариант с событиями, чья пространственная компонента находится только на оси x):

Тут изображено событие E с точки зрения двух систем отсчёта (x,ct) и (x',ct'). Точечным пунктиром указана линия "одновременности" с событием E в каждой из СО, а неравномерным пунктиром - линия "одноместности". Голубым цветом изображён световой конус.

Как нетрудно видеть, для любых двух событий можно нарисовать параллельную проходящей через них линии ось, которая попадёт или внутрь светового конуса (в этом случае события будут пространственноподобными, а ось будет осью времени соответствующей ИСО), либо окажется снаружи (в этом случае события будут временеподобны, а ось будет пространственной осью). Одновременно временеподобными и пространственноподобными события быть не могут.

Множество событий, описывающих поведение любого объекта в пространстве Минковского, называют "мировой линией". Например, мировая линия объекта, вращающегося вокруг начала ИСО, будет выглядеть как синусоида вдоль оси времени.

В терминах пространства Минковского вам будет намного легче понимать многие эффекты СТО, в которых вечно чудится какой-то неуловимый подвох.

Вместо заключения

Я нисколько не сомневаюсь, что доморощенным "гениям" ничто не помешает в очередной раз найти стопицот "доказательств" и "противоречий", потому что уже сто раз было и уже двести раз не удивило. Но, увы, это не поможет. Примитивные рассуждения и наивные выводы в такой сложной теме всегда означают исключительно недостаток понимания, недостаток пространственного (четырёхмерного и псевдоевклидова, ха-ха!) восприятия, недостаток абстрактного мышления. Так что не спешите строчить стандартные и давно не новые отписки не по делу, даже не читая статью, как вы это обычно делаете.

В СТО нет внутренних противоречий. Апеллировать к логике тут бессмысленно, потому что для логики СТО является системой совместных аксиом, а это значит, что у неё есть модель по Гёделю (например, моделью СТО является пространство Минковского). Все критики СТО ищут в ней именно такие противоречия, которых нет и не может быть - искать их совершенно бесполезно.

Ну а для того, чтобы предметно обсуждать теорию относительности, нужно во всём вышенаписанном разобраться. А если не получилось разобраться, то… Как можно адекватно критиковать то, чего не понимаешь? Никак.