• РЕГИСТРАЦИЯ

Краткое введение в специальную теорию относительности

50 4525

Теория относительности и квантовая механика - триумф физики XX века. Одновременно это именно та самая стадия развития этой науки, при которой она становится сложной, даже очень. Наивно и с нахрапом её уже не поймёшь, дешёвые аналогии и описания уровня комиксов для детей перестают работать.

К сожалению, многие этого совершенно не понимают, думая, что сложную теорию можно понимать как попало и не никак ошибаться при этом. Увы, увы, увы. Не получается. А некоторые ещё и критиковать пытаются из глубин своего недопонимания.

В школе ТО практически не проходят. Ну как, чуть-чуть на пальцах объясняют - и то счастье. Но этого сильно мало для понимания. Я решил кратко описать кой-какие основы СТО. Совсем по-простому, к сожалению, объяснить не получится, но тот, кто хочет адекватно воспринимать теорию, должен быть готов к чему-то значительно более сложному, чем таблица умножения.

Ньютоновская механика

Каждая точка трёхмерного пространства задаётся тройкой координат x=(x1, x2, x3). Если есть некая движущаяся материальная точка, то её положение описывается векторной функцией времени x(t). То есть x(t) - это параметризованный величиной t кортеж трёх значений (x1, x2, x3).

Мгновенная скорость точки - это производная по времени: v(t)=x'(t)=(x1'(t),x2'(t),x3'(t)).

Ускорение точки (скорость изменения скорости) - это производная скорости (вторая производная координат): a(t)=v'(t)=x''(t).

Если движение равномерное, то ускорение равно нулю: x''(t)=0. Далее решаем это дифференциальное уравнение двойным интегрированием и получаем: x(t)=x0+vt, где x0 - начальное положение (в момент времени t=0), v - постоянная скорость (векторная величина). Для равноускоренного x''(t)=a (a - постоянная векторная величина ускорения) аналогичным образом получаем x(t)=x0+vt+at^2. Собственно, подобные формулы должны быть всем знакомы со школы, только в школьном курсе их рассматривали как скалярные (одно число - модуль-длина вектора), а не векторные (три компоненты разложения по координатным векторам).

Таким образом, мы имеем в каждый момент времени четвёрку чисел (x1, x2, x3, t), которая описывает положение точки в пространстве-времени.

Системы отсчёта

В классической механике все инерциальные системы отсчёта (ИСО) движутся друг относительно друга с постоянной фиксированной скоростью, и положение точки в другой системе отсчёта (СО) определяется как y(t)=x(t)+wt (w - вектор скорости движения одной СО относительно другой).

Для равномерного движения получаем: y(t)=x0+vt+wt, y'(t)=v+w=x'(t)+w - координаты и скорости просто складываются. Но даже для неравномерного движения получим y'(t)=x'(t)+w=v(t)+w - то есть скорости при переходе в другую СО просто складываются.

Вторым дифференцированием получаем ускорение y''(t)=x''(t)=a(t) - то есть ускорение в любой другой системе отсчёта будет одинаковым и неизменным.

Ньютоновская физика очень проста для интуитивного понимания, потому что в ней нет никакой зависимости от величин скоростей, и то, что работает на движении медленно ползущей черепахи, так же точно работает на сверхзвуковом самолёте и на фотоне света. К сожалению, экстраполировать движение черепахи на движение шпарящего с гигантской скоростью фотона нельзя. А все "ниспровергатели" ТО именно этим и занимаются, наивно думая, что на примере черепахи можно понять движение света.

Преобразование Галилея

В ньютоновской физике мы имеем следующее преобразование систем координат между различными ИСО x(t)->y(t) (так называемое преобразование Галилея, тут v - вектор скорости движения одной ИСО относительно другой):

y1=x1+v1t
y2=x2+v2t
y3=x3+v3t

Однако есть ещё четвёртая компонента - время:

T=t0+t

Тут t0 - разница во времени между системами отсчёта. Но так как разница постоянна, обычно считают её равной нулю, и время в обеих системах отсчёта идёт одинаково.

Таким образом, в классической механике мы имеем преобразование пространства-времени (x1,x2,x3,t) -> (y1,y2,y3,T), где T=t (время неизменно).

Важным свойством преобразования Галилея является сохранение расстояний: выражение s^2=(y1-x1)^2+(y2-x2)^2+(y3-x3)^2 не зависит от ИСО, то есть инвариантно.

Преобразование Лоренца

А теперь переходим к теории относительности. Тут четвёрка показателей состояния точки в пространстве-времени изменяется по другому закону, более сложному (преобразование Лоренца). Для простоты его обычно записывают в такой системе координат, в которой новая система отсчёта движется со скоростью v вдоль одной из осей (иначе формулы будут выглядеть очень громоздко):

y1=(x1+vt)/sqrt(1-v^2/c^2)
y2=x2
y3=x3
T=(t+vx/c^2)/(1-v^2/c^2)

Заметили, что преобразование t в T больше не изменяется линейно? Это и есть то самое неодинаково текущее время в разных системах отсчёта!

Когда скорость v значительно ниже скорости света, то преобразование Лоренца вырождается до преобразования Галилея, потому что величина в v^2/c^2 практически неотличима от нуля, y1 незначительно отличается от x1+vt, а T - от t.

А теперь - к скорости. Если раньше мы имели скорость x'(t), то при переходе в другую систему координат скорость будет y'(T) - это будет производная по другой переменной! То есть мы не просто прибавили к одной скорости другую скорость в одной шкале времени, а сделали замену переменной. Именно в этом обстоятельстве и скрывается типичная ошибка незнакомых с ТО людей, пытающихся воспринимать скорость в разных ИСО как скорости в одной. В ньютоновской механике это прокатывало, а тут - не прокатит.

Расписывать производную по времени в случае преобразования Лоренца я не буду - слишком уж громоздко. Просто приведу наиболее интересующий нас результат. Итоговая формула сложения скалярных величин скоростей будет такой:

v=(v1+v2)/(1+(v1v2)/c^2)

Если в качестве одной из скоростей подставить скорость света, то получим:

v=(v1+c)/(1+(v1c)/c^2)=(v1+c)/((c+v1)/c)=c

То есть если одна из скоростей световая, то сумма всегда будет по величине равна скорости света. В любой системе отсчёта скорость света будет равна одному и тому же значению. Ничего не напоминает? Да, это тот самый второй постулат Эйнштейна, по которому скорость света не зависит от системы отсчёта.

Модель пространства-времени, в котором переход между системами координат осуществляется по правилам преобразования Лоренца, и есть аналитическое решение аксиоматики (постулатов) Эйнштейна. Как и завещала нам теорема Гёделя о полноте, непротиворечивая система аксиом всегда имеет модель. Бессмысленно "доказывать", что в теории относительности есть какое-то внутреннее якобы "противоречие", потому что его там принципиально не может быть.

Релятивистская погрешность

Что будет, если скорости v1 и v2 существенно ниже скорости света? Величина выражения в знаменателе 1+v1v2/c^2 будет практически неотличима от 1, и мы получим v~v1+v2.

Реальная погрешность такого допущения определяется отношением v1v2/c^2. На встречающихся в практической жизни обычного человека скоростях эта величина настолько ничтожна, что вы её никогда сами не обнаружите ни одним бытовым прибором. Более того, она ничтожна дажа на весьма больших по человеческим меркам скоростях!

Например, скорость обращения Земли вокруг Солнца - около 30 км/с. Это больше первой, второй и третьей космических скоростей, между прочим, но 30*30/c^2=10^-8 - одна стомиллионная! И сокращение суммы скоростей составит 1-1/(1-10^8)~10^-9 - не более одной миллиардной!

А вот и более приземлённый (в прямом и переносном смысле) пример: пусть едет автомобиль с неразрешённой на наших дорогах скоростью 50 м/с (180 км/ч), и находящийся в нём человек стреляет из ружья (начальная скорость пули до 1000 м/c). Погрешность релятивистской суммы таких скоростей составит менее 10^-12, то есть менее одной триллионной. Может ли спидометр вашего автомобиля обнаружить такую разницу? Можно не отвечать - вопрос риторический.

Вот, например, штангенциркуль позволяет мерить объекты в лучшем случае с точностью до 0.05 мм. А что такое 10^-12 для штангенциркуля длиной 20 см? Это 0.000000002 мм.

Или, например, одна триллионная длины экватора нашей планеты - это жалкие 4 сантиметра. Для сравнения, одно только изменение железнодорожного рельса километровой длины от суточных перепадов температур составляет величину порядка 1 см.

В общем и целом получается, что на практике вполне можно почти всегда пользоваться обычной ньютоновской физикой и не испытывать никаких проблем. Но есть ситуации, когда этого недостаточно, и релятивистские эффекты могут давать неприемлемую погрешность. Например, учитывать теорию относительности нужно

… при высокоточных астрономических наблюдениях
… при высокоточных измерениях времени
… при изучении частиц в ускорителях
… в оптике при исследовании оптических эффектов

Псевдоевклидовы пространства

Для дальнейшего обсуждения нам потребуется ещё немного теоретических понятий.

Метрическим пространством называют множество с дополнительной функцией (метрикой), удовлетворяющей некоторым условиям (в частности, "правилу треугольника" s(p1,p2)<=s(p1,p3)+s(p3,p2)). Грубо говоря, метрика - это "расстояние" между точками множества. Всем хорошо известное евклидово пространство R^3 - это метрическое пространство размерности 3 с метрикой s(p1,p2)=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2). А любое другое n-мерное пространство R^n - с аналогичной метрикой, где под корнем сумма квадратов разниц по всем координатам.

Переход между инерциальными системами отсчёта в классической механике сохраняет метрику, она инвариантна относительно изменения системы координат.

Идея евклидова пространства может быть расширена путём замены части плюсов в выражении под корнем на минусы. Такое уже совсем не метрическое пространство (ибо правило треугольника нарушается) называют псевдоевклидовым R(n,m), где n - число положительных слагаемых, m - число отрицательных. Правда, тут возможна ситуация, когда квадратный корень придётся извлекать из отрицательного числа, поэтому обычно в них рассматривают так называемый "квадрат интервала" (то же самое, но без извлечения квадратного корня), который может быть равен нулю или даже быть отрицательным.

Обычное пространство R^n можно воспринимать как вырожденный случай псевдоевклидова пространства R(n, 0).

Пространство Минковского

В 1907 году математик Герман Минковский предложил в качестве модели теории относительности "пространство-время" R(3, 1) с аналогом "метрики-расстояния" в виде квадрата интервала s^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2-c^2(t2^2-t1^2). Преобразование Лоренца для этого пространства сохраняет квадрат интервала.

Замечание. Вообще говоря, иногда эту формулу вводят с противоположными знаками: с минусами пишут пространственные компоненты, а с плюсом - временную, то есть в качестве пространства-времени рассматривают R(1, 3). Принципиального значения этот нюанс не имеет.

Таким образом, набор (x, y, z, ct) - это четыре координаты единого пространства-времени в псевдоевклидовом пространстве R(3, 1).

Такая модель позволяет представлять релятивистские эффекты геометрически. Но сначала ещё немного определений.

Множество точек пространства, где квадрат интервала равен нулю, называют световым конусом. Поскольку представить себе четырёхмерный конус сложно, то вот для лучшего понимания трёхмерный световой конус пространства R(2, 1):

Свет всегда движется по световому конусу (фактически каждая линия его вертикального сечения представляет из себя график функции r=ct, где r - ось на пересечении секущей плоскости и плоскости t=0). Все другие так называемые "события" (точки в пространстве Минковского) могут быть "временеподобными" или "пространственноподобными" (но не одновременно). Это значит, что в некоторой системе отсчёта они происходят в одно время (но в разных местах) или в одном месте (но в разное время).

События обоих видов относительно события в вершине конуса находятся по разные стороны светового конуса. Cнаружи находятся временеподобные события. В некоторых системах отсчёта они могут быть одновременны с событием в вершине конуса, в каких-то могут происходить до него, а в иных - вообще после него. Внутри верхней части конуса находится так называемое "абсолютное будущее" - эти события никогда не могут стать "прошлым" относительно вершины конуса ни в какой системе отсчёта. Нижняя часть конуса, соответственно, это "абсолютное прошлое", которое никогда не станет "будущим".

Кажется, что тут есть какой-то подвох и нарушение причинно-следственной связи? Но это иллюзия от невнимательности. Например, есть два события, которые происходят в моменты времени t1<t2, а в другой системе отсчёта t1'>t2', как так может быть, что их порядок изменился? Но всё дело в том, что эти события временеподобны, а не пространственноподобны, поэтому в пространстве они никогда между собой совпасть не могут и повлиять друг на друга не могут.

Если в событиях есть причинно-следственная связь, то есть связь и пространственная, а, значит, события пространственноподобны. Например, снаряд падает на здание, взрывается, здание разрушено - эта последовательность никогда не нарушится ни в какой системе отсчёта. Не может быть так, что здание сначала взрывается, а потом в него попадает снаряд - нет таких систем отсчёта и не может быть.

Сложно представить? Да, не очень-то просто. Но нам поможет геометрия! При переходе в другую систему отсчёта координатные оси пространства-времени изменяются, в результате то, что было одновременно или одноместно в некоторой системе отсчёта, может стать совсем не одновременным и не одноместным. Вот так это выглядит в пространстве Минковского (для наглядности рассматриваем плоский вариант с событиями, чья пространственная компонента находится только на оси x):

Тут изображено событие E с точки зрения двух систем отсчёта (x,ct) и (x',ct'). Точечным пунктиром указана линия "одновременности" с событием E в каждой из СО, а неравномерным пунктиром - линия "одноместности". Голубым цветом изображён световой конус.

Как нетрудно видеть, для любых двух событий можно нарисовать параллельную проходящей через них линии ось, которая попадёт или внутрь светового конуса (в этом случае события будут пространственноподобными, а ось будет осью времени соответствующей ИСО), либо окажется снаружи (в этом случае события будут временеподобны, а ось будет пространственной осью). Одновременно временеподобными и пространственноподобными события быть не могут.

Множество событий, описывающих поведение любого объекта в пространстве Минковского, называют "мировой линией". Например, мировая линия объекта, вращающегося вокруг начала ИСО, будет выглядеть как синусоида вдоль оси времени.

В терминах пространства Минковского вам будет намного легче понимать многие эффекты СТО, в которых вечно чудится какой-то неуловимый подвох.

Вместо заключения

Я нисколько не сомневаюсь, что доморощенным "гениям" ничто не помешает в очередной раз найти стопицот "доказательств" и "противоречий", потому что уже сто раз было и уже двести раз не удивило. Но, увы, это не поможет. Примитивные рассуждения и наивные выводы в такой сложной теме всегда означают исключительно недостаток понимания, недостаток пространственного (четырёхмерного и псевдоевклидова, ха-ха!) восприятия, недостаток абстрактного мышления. Так что не спешите строчить стандартные и давно не новые отписки не по делу, даже не читая статью, как вы это обычно делаете.

В СТО нет внутренних противоречий. Апеллировать к логике тут бессмысленно, потому что для логики СТО является системой совместных аксиом, а это значит, что у неё есть модель по Гёделю (например, моделью СТО является пространство Минковского). Все критики СТО ищут в ней именно такие противоречия, которых нет и не может быть - искать их совершенно бесполезно.

Ну а для того, чтобы предметно обсуждать теорию относительности, нужно во всём вышенаписанном разобраться. А если не получилось разобраться, то… Как можно адекватно критиковать то, чего не понимаешь? Никак.

Чем больше воды, тем глубже мысль

Алексиевич о Белоруссии – «страна полицаев»
  • shaya
  • 20 февраля 17:24
  • Промо

Советского Союза давно нет на политической карте мира, а его ненавистники продолжают пускать сопли ярости. Не стала исключением лауреат Нобелевской премии по литературе Светлана Алексие...

Они вокруг нас. Невероятные НЛО и Инопланетяне.

Обладает ли современный человек полнотой знаний о том что происходит вокруг нас в реальном мире, или нам позволяют видеть только очень ограниченное пространство, в котором нам демонстри...

Время шло, работа велась

Ну а что, всё как обычно: "Работа ведется. Ждите результатов". Ждите, понимаете? Просто ждите. Хотя тот факт, что вопрос не был проигнорирован, может быть признаком перемен к лучшему (д...

Ваш комментарий сохранен и будет опубликован сразу после вашей авторизации.

0 новых комментариев

    Что-то-там-знание и якобы-компетенции в мире сетевой демагогии

    Многие люди реагируют на слова-триггеры. Например, увидев фамилию Клёсова, тут же набегает паства почитателей и начинает писать одно и то же, даже не читая то, что комментирует.Но я, собственно, не об этом (предыдущее предложение было лишь с целью триггернуть, как вы уже догадались). Я об аргументе в духе "ну он же химик, значит, разбирается в ДНК". Этот же аргумент м...
    268
    Александр Зейналов 13 декабря 2019 г. 12:02

    Сделано у нас, сделано по-русски...

    Представьте себе, что я написал заявление в правоохранительные органы, будто бы мой сосед должен мне 100 рублей... И в дом моего соседа на следующий же день врываются люди с оружием в масках. Что это, сценарий голливудского фильма? Нет, это Россия, детка!https://habr.com/ru/company/itsumma/blog/479942/https://roem.ru/12-12-2019/281134/rambler-nginx/А потом эти же люди...
    528

    Мы с дочкой - экспериментаторы!

    Эразм Дарвин считал, что время от времени следует производить самые дикие эксперименты. Из них почти никогда ничего не выходит, но если они удаются, то результат бывает потрясающим. Дарвин играл на трубе перед своими тюльпанами. Ничего не произошло.Сегодня у нас в программе - необычный физический эксперимент, по поставленным целям претендующий как минимум на Нобелевск...
    695

    Ярый Дон сквозь падающие слёзы

    Слишком часто от "альтернативщиков" можно услышать, что якобы на бредни их гуру "никто не смог возразить", что якобы их "теория никем не опровергнута". Что там всё логично и убедительно, что там под капотом скрываются какие-то неведомые "неудобные вопросы".Увы и ах, ничего подобного там нет и никогда не было. Там просто обман в больших количествах, который следовало б...
    1496

    Существует ли научный креационизм? (Вячеслав Алексеев)

    Недавно в нашем журнале пробегала статья "Интеллектуальная слепота", где в качестве иллюстрации приводилось отношение людей к теории эволюции. Разумеется, в комментариях предсказуемо были обнаружены отдельные граждане, что начали бурно доказывать, будто бы эволюция - это нинаучна, в отличие от святого креационизьма.А на самом деле споры о реальности биологической эвол...
    2737

    Энергетический парадокс, которого нет

    Когда читаешь комментарии критиков теории относительности, то хотя бы понимаешь, что они это не со зла, ведь это действительно очень сложная для понимания теория. Таких можно обвинять в недостаточной образованности, в слишком большом доверии к собственной интуиции, но тут по крайней мере одних школьных знаний недостаточно для понимания.Увы, но есть люди, которые не по...
    4668

    Существует ли научный креационизм? (Вячеслав Алексеев)

    Недавно в нашем журнале пробегала статья "Интеллектуальная слепота", где в качестве иллюстрации приводилось отношение людей к теории эволюции. Разумеется, в комментариях предсказуемо были обнаружены отдельные граждане, что начали бурно доказывать, будто бы эволюция - это нинаучна, в отличие от святого креационизьма.А на самом деле споры о реальности биологической эвол...
    2133

    Трейдер против Эйнштейна

    Один блоггер предложил способ определения того, врёт чиновник или нет. Способ такой: у чиновника есть такой орган, он называется "рот". Если чиновник открывает рот, то он врёт. Всё очень просто. Подобным же образом можно легко проверять, врёт ли любой "альтернативщик", противопоставляющий себя науке. Нет, конечно, иногда может повезти нарваться на честн...
    2968

    Парадокс близнецов

    Теория относительности довольно сложна для интуитивного восприятия, и неудивительно, что многие её выводы выглядят весьма и весьма парадоксально. Сегодня мы рассмотрим один известный парадокс, который многие совершенно необоснованно считают противоречием, доказывающим несостоятельность самой теории.Для того, чтобы понимать матчасть, настоятельно советую ознакомиться с...
    3677

    Сказ о том, как олух Эйнштейна разоблачал

    Многих людей очень привлекает осознание элитарной причастности к особым тайнам, доступным не каждому. Им кажется, что не нужно много ума, чтобы разбираться в вещах сложных и узкоспециализированных. Самый "всезнающий" слой населения - это, конечно, таксисты. У этих по любому вопросу есть "экспертное" мнение. Будь то мировая политика и ядерная физика.Особ...
    3063

    Прошлое термина "Украина"

    Тут под статьёй о монголо-татарах мне было категорично заявлено, что якобы никаких монголо-татар не было, это слово придумали в XX веке, как и слово "Украина"…Что? Серьёзно? Украину придумали в XX веке? Да-да, вы не ослышались. Почему-то у поколения ЕГЭ очень популярна нелепая байка о том, что никто никогда не знал ни при какую Украину. Но - увы и ах! - это совсем не ...
    9437

    Гопники-кочевники

    Возьмём банду мафиози-гопников. Ну, скажем, так называемых "солнцевских". Едут, значит, солнцевские в Люберцы и нагибают местных люберецких. Требуют с них дань. А также людей, чтобы вместе пойти нагибать ореховских и бутовских. Добычу предлагают поделить поровну: 30% вам, 70% нам.Люберецкие подумали-подумали и решили, что дело-то довольно выгодное. Пограбим ореховских...
    3273

    О древности термина "монголо-татары"

    Астрологи объявили неделю татаро-монгольского ига. Количество монголов на Руси выросло втрое.На КОНТе случилогсь очередное обострение отрицателей монголо-татаров. Так, давеча один товарищ альтернативной гениальности в хамски категоричной потребовал от меня доказательств того, что "монголы-татары" реально существовали. По его мнению, их таки не было, потому как, дескат...
    3522

    Франция не воевала с Россией в 1812 году? Как иностранные газеты переворачивают историю (на самом деле нет)

    Есть на свете странные люди, которые думают, что вовсе необязательно много знать, получать специальное образование, работать с огромным количеством материала. Достаточно найти какую-нибудь незначительную мелочь - и можно делать идеально точные выводы. При этом откуда-то находятся тысячи причин, чтобы огромное количество других далеко не мелочей никак не мешали идеальн...
    5066

    50 лет первой высадке на Луну (Дмитрий Лебедев)

    Сегодня - полувековая годовщина уникального события, триумфа человеческой воли и технологий - первой высадки человека на поверхность Луны. Можно было бы в очередной невесть какой раз написать о том, как бессмыслены безумные потуги конспиролухов опровергнуть этот факт, но просто порадуемся за выдающееся достижение человечества. А поздравит нас Дмитрий Л...
    4261

    Кое-что о болгарской истории и об исторических аналогиях

    Россия - многонациональное государство. Оно таким стало не прямо сейчас - его полиэтничность восходит корнями в глубокую древность. Когда-то на территории формирования ядра русского государства жили неславянские племена (в основном финно-угорские), которые были ассимилированы нашими предками. Кстати, их значение в деле формирования русской народности длительное время ...
    4128

    Хлорированная вода Нила и другие удивительные "открытия"

    Как вы уже наверняка давно знаете, на КОНТе огромное количество людей альтернативной интеллектуальной ориентации. При всём уважении^Wстремлении быть толерантными, всё-таки приходится проявлять к подобной альтернативной одарённости неприятие^Wне менее альтернативную любовь. Как ещё поддерживать интеллектуальное здоровье нации, если не бороться за объекти...
    9072

    Две крайности - две лжи. Как правильно понимать масштабы политических репрессий

    Ранее вы уже могли читать несколько небольших моих статей об ошибках интерпретации числовых показателей статистики. В этот раз мы обсудим намного более острую тему, которая волнует наших граждан: реальный масштаб политических репрессий эпохи Сталина и наличие репрессированных в достаточно близком окружении большинства людей. Как так получилось, что о репрессиях знали ...
    5482

    Альтернативные альтернативщики

    Как вы уже наверняка почерпнули на этих ваших ютубах, все языки мира происходят от русского, все народы происходят от русских, а когда-то русские жили вообще везде. Но есть и несогласные с такой трактовкой. Давайте же послушаем некоторых из них. Англо-саксо-якутыСаха = Sax = Начальный народ в переводе на русский.Саха как начальный народ Агнат имеет = 100...
    5705

    Страшные тайны 5G

    На КОНТе часто можно увидеть разнообразные "ноучные" сенсации. Вот, например, в одном бурном обсуждении "смертельного 5G" встретил такое откровение:Мозг от прижатого к уху тилипона не закипит. Вся излученная телефоном и поглощенная головой мощность придется на 1-10мм верхнего слоя. Просто слегка обуглится кожа.Кажется, я где-то это уже слышал. Да, лет 2...
    10190
    Служба поддержи

    Яндекс.Метрика