• РЕГИСТРАЦИЯ

Краткое введение в специальную теорию относительности

50 5584

Теория относительности и квантовая механика - триумф физики XX века. Одновременно это именно та самая стадия развития этой науки, при которой она становится сложной, даже очень. Наивно и с нахрапом её уже не поймёшь, дешёвые аналогии и описания уровня комиксов для детей перестают работать.

К сожалению, многие этого совершенно не понимают, думая, что сложную теорию можно понимать как попало и не никак ошибаться при этом. Увы, увы, увы. Не получается. А некоторые ещё и критиковать пытаются из глубин своего недопонимания.

В школе ТО практически не проходят. Ну как, чуть-чуть на пальцах объясняют - и то счастье. Но этого сильно мало для понимания. Я решил кратко описать кой-какие основы СТО. Совсем по-простому, к сожалению, объяснить не получится, но тот, кто хочет адекватно воспринимать теорию, должен быть готов к чему-то значительно более сложному, чем таблица умножения.

Ньютоновская механика

Каждая точка трёхмерного пространства задаётся тройкой координат x=(x1, x2, x3). Если есть некая движущаяся материальная точка, то её положение описывается векторной функцией времени x(t). То есть x(t) - это параметризованный величиной t кортеж трёх значений (x1, x2, x3).

Мгновенная скорость точки - это производная по времени: v(t)=x'(t)=(x1'(t),x2'(t),x3'(t)).

Ускорение точки (скорость изменения скорости) - это производная скорости (вторая производная координат): a(t)=v'(t)=x''(t).

Если движение равномерное, то ускорение равно нулю: x''(t)=0. Далее решаем это дифференциальное уравнение двойным интегрированием и получаем: x(t)=x0+vt, где x0 - начальное положение (в момент времени t=0), v - постоянная скорость (векторная величина). Для равноускоренного x''(t)=a (a - постоянная векторная величина ускорения) аналогичным образом получаем x(t)=x0+vt+at^2. Собственно, подобные формулы должны быть всем знакомы со школы, только в школьном курсе их рассматривали как скалярные (одно число - модуль-длина вектора), а не векторные (три компоненты разложения по координатным векторам).

Таким образом, мы имеем в каждый момент времени четвёрку чисел (x1, x2, x3, t), которая описывает положение точки в пространстве-времени.

Системы отсчёта

В классической механике все инерциальные системы отсчёта (ИСО) движутся друг относительно друга с постоянной фиксированной скоростью, и положение точки в другой системе отсчёта (СО) определяется как y(t)=x(t)+wt (w - вектор скорости движения одной СО относительно другой).

Для равномерного движения получаем: y(t)=x0+vt+wt, y'(t)=v+w=x'(t)+w - координаты и скорости просто складываются. Но даже для неравномерного движения получим y'(t)=x'(t)+w=v(t)+w - то есть скорости при переходе в другую СО просто складываются.

Вторым дифференцированием получаем ускорение y''(t)=x''(t)=a(t) - то есть ускорение в любой другой системе отсчёта будет одинаковым и неизменным.

Ньютоновская физика очень проста для интуитивного понимания, потому что в ней нет никакой зависимости от величин скоростей, и то, что работает на движении медленно ползущей черепахи, так же точно работает на сверхзвуковом самолёте и на фотоне света. К сожалению, экстраполировать движение черепахи на движение шпарящего с гигантской скоростью фотона нельзя. А все "ниспровергатели" ТО именно этим и занимаются, наивно думая, что на примере черепахи можно понять движение света.

Преобразование Галилея

В ньютоновской физике мы имеем следующее преобразование систем координат между различными ИСО x(t)->y(t) (так называемое преобразование Галилея, тут v - вектор скорости движения одной ИСО относительно другой):

y1=x1+v1t
y2=x2+v2t
y3=x3+v3t

Однако есть ещё четвёртая компонента - время:

T=t0+t

Тут t0 - разница во времени между системами отсчёта. Но так как разница постоянна, обычно считают её равной нулю, и время в обеих системах отсчёта идёт одинаково.

Таким образом, в классической механике мы имеем преобразование пространства-времени (x1,x2,x3,t) -> (y1,y2,y3,T), где T=t (время неизменно).

Важным свойством преобразования Галилея является сохранение расстояний: выражение s^2=(y1-x1)^2+(y2-x2)^2+(y3-x3)^2 не зависит от ИСО, то есть инвариантно.

Преобразование Лоренца

А теперь переходим к теории относительности. Тут четвёрка показателей состояния точки в пространстве-времени изменяется по другому закону, более сложному (преобразование Лоренца). Для простоты его обычно записывают в такой системе координат, в которой новая система отсчёта движется со скоростью v вдоль одной из осей (иначе формулы будут выглядеть очень громоздко):

y1=(x1+vt)/sqrt(1-v^2/c^2)
y2=x2
y3=x3
T=(t+vx/c^2)/(1-v^2/c^2)

Заметили, что преобразование t в T больше не изменяется линейно? Это и есть то самое неодинаково текущее время в разных системах отсчёта!

Когда скорость v значительно ниже скорости света, то преобразование Лоренца вырождается до преобразования Галилея, потому что величина в v^2/c^2 практически неотличима от нуля, y1 незначительно отличается от x1+vt, а T - от t.

А теперь - к скорости. Если раньше мы имели скорость x'(t), то при переходе в другую систему координат скорость будет y'(T) - это будет производная по другой переменной! То есть мы не просто прибавили к одной скорости другую скорость в одной шкале времени, а сделали замену переменной. Именно в этом обстоятельстве и скрывается типичная ошибка незнакомых с ТО людей, пытающихся воспринимать скорость в разных ИСО как скорости в одной. В ньютоновской механике это прокатывало, а тут - не прокатит.

Расписывать производную по времени в случае преобразования Лоренца я не буду - слишком уж громоздко. Просто приведу наиболее интересующий нас результат. Итоговая формула сложения скалярных величин скоростей будет такой:

v=(v1+v2)/(1+(v1v2)/c^2)

Если в качестве одной из скоростей подставить скорость света, то получим:

v=(v1+c)/(1+(v1c)/c^2)=(v1+c)/((c+v1)/c)=c

То есть если одна из скоростей световая, то сумма всегда будет по величине равна скорости света. В любой системе отсчёта скорость света будет равна одному и тому же значению. Ничего не напоминает? Да, это тот самый второй постулат Эйнштейна, по которому скорость света не зависит от системы отсчёта.

Модель пространства-времени, в котором переход между системами координат осуществляется по правилам преобразования Лоренца, и есть аналитическое решение аксиоматики (постулатов) Эйнштейна. Как и завещала нам теорема Гёделя о полноте, непротиворечивая система аксиом всегда имеет модель. Бессмысленно "доказывать", что в теории относительности есть какое-то внутреннее якобы "противоречие", потому что его там принципиально не может быть.

Релятивистская погрешность

Что будет, если скорости v1 и v2 существенно ниже скорости света? Величина выражения в знаменателе 1+v1v2/c^2 будет практически неотличима от 1, и мы получим v~v1+v2.

Реальная погрешность такого допущения определяется отношением v1v2/c^2. На встречающихся в практической жизни обычного человека скоростях эта величина настолько ничтожна, что вы её никогда сами не обнаружите ни одним бытовым прибором. Более того, она ничтожна дажа на весьма больших по человеческим меркам скоростях!

Например, скорость обращения Земли вокруг Солнца - около 30 км/с. Это больше первой, второй и третьей космических скоростей, между прочим, но 30*30/c^2=10^-8 - одна стомиллионная! И сокращение суммы скоростей составит 1-1/(1-10^8)~10^-9 - не более одной миллиардной!

А вот и более приземлённый (в прямом и переносном смысле) пример: пусть едет автомобиль с неразрешённой на наших дорогах скоростью 50 м/с (180 км/ч), и находящийся в нём человек стреляет из ружья (начальная скорость пули до 1000 м/c). Погрешность релятивистской суммы таких скоростей составит менее 10^-12, то есть менее одной триллионной. Может ли спидометр вашего автомобиля обнаружить такую разницу? Можно не отвечать - вопрос риторический.

Вот, например, штангенциркуль позволяет мерить объекты в лучшем случае с точностью до 0.05 мм. А что такое 10^-12 для штангенциркуля длиной 20 см? Это 0.000000002 мм.

Или, например, одна триллионная длины экватора нашей планеты - это жалкие 4 сантиметра. Для сравнения, одно только изменение железнодорожного рельса километровой длины от суточных перепадов температур составляет величину порядка 1 см.

В общем и целом получается, что на практике вполне можно почти всегда пользоваться обычной ньютоновской физикой и не испытывать никаких проблем. Но есть ситуации, когда этого недостаточно, и релятивистские эффекты могут давать неприемлемую погрешность. Например, учитывать теорию относительности нужно

… при высокоточных астрономических наблюдениях
… при высокоточных измерениях времени
… при изучении частиц в ускорителях
… в оптике при исследовании оптических эффектов

Псевдоевклидовы пространства

Для дальнейшего обсуждения нам потребуется ещё немного теоретических понятий.

Метрическим пространством называют множество с дополнительной функцией (метрикой), удовлетворяющей некоторым условиям (в частности, "правилу треугольника" s(p1,p2)<=s(p1,p3)+s(p3,p2)). Грубо говоря, метрика - это "расстояние" между точками множества. Всем хорошо известное евклидово пространство R^3 - это метрическое пространство размерности 3 с метрикой s(p1,p2)=sqrt((x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2). А любое другое n-мерное пространство R^n - с аналогичной метрикой, где под корнем сумма квадратов разниц по всем координатам.

Переход между инерциальными системами отсчёта в классической механике сохраняет метрику, она инвариантна относительно изменения системы координат.

Идея евклидова пространства может быть расширена путём замены части плюсов в выражении под корнем на минусы. Такое уже совсем не метрическое пространство (ибо правило треугольника нарушается) называют псевдоевклидовым R(n,m), где n - число положительных слагаемых, m - число отрицательных. Правда, тут возможна ситуация, когда квадратный корень придётся извлекать из отрицательного числа, поэтому обычно в них рассматривают так называемый "квадрат интервала" (то же самое, но без извлечения квадратного корня), который может быть равен нулю или даже быть отрицательным.

Обычное пространство R^n можно воспринимать как вырожденный случай псевдоевклидова пространства R(n, 0).

Пространство Минковского

В 1907 году математик Герман Минковский предложил в качестве модели теории относительности "пространство-время" R(3, 1) с аналогом "метрики-расстояния" в виде квадрата интервала s^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2-c^2(t2^2-t1^2). Преобразование Лоренца для этого пространства сохраняет квадрат интервала.

Замечание. Вообще говоря, иногда эту формулу вводят с противоположными знаками: с минусами пишут пространственные компоненты, а с плюсом - временную, то есть в качестве пространства-времени рассматривают R(1, 3). Принципиального значения этот нюанс не имеет.

Таким образом, набор (x, y, z, ct) - это четыре координаты единого пространства-времени в псевдоевклидовом пространстве R(3, 1).

Такая модель позволяет представлять релятивистские эффекты геометрически. Но сначала ещё немного определений.

Множество точек пространства, где квадрат интервала равен нулю, называют световым конусом. Поскольку представить себе четырёхмерный конус сложно, то вот для лучшего понимания трёхмерный световой конус пространства R(2, 1):

Свет всегда движется по световому конусу (фактически каждая линия его вертикального сечения представляет из себя график функции r=ct, где r - ось на пересечении секущей плоскости и плоскости t=0). Все другие так называемые "события" (точки в пространстве Минковского) могут быть "временеподобными" или "пространственноподобными" (но не одновременно). Это значит, что в некоторой системе отсчёта они происходят в одно время (но в разных местах) или в одном месте (но в разное время).

События обоих видов относительно события в вершине конуса находятся по разные стороны светового конуса. Cнаружи находятся временеподобные события. В некоторых системах отсчёта они могут быть одновременны с событием в вершине конуса, в каких-то могут происходить до него, а в иных - вообще после него. Внутри верхней части конуса находится так называемое "абсолютное будущее" - эти события никогда не могут стать "прошлым" относительно вершины конуса ни в какой системе отсчёта. Нижняя часть конуса, соответственно, это "абсолютное прошлое", которое никогда не станет "будущим".

Кажется, что тут есть какой-то подвох и нарушение причинно-следственной связи? Но это иллюзия от невнимательности. Например, есть два события, которые происходят в моменты времени t1<t2, а в другой системе отсчёта t1'>t2', как так может быть, что их порядок изменился? Но всё дело в том, что эти события временеподобны, а не пространственноподобны, поэтому в пространстве они никогда между собой совпасть не могут и повлиять друг на друга не могут.

Если в событиях есть причинно-следственная связь, то есть связь и пространственная, а, значит, события пространственноподобны. Например, снаряд падает на здание, взрывается, здание разрушено - эта последовательность никогда не нарушится ни в какой системе отсчёта. Не может быть так, что здание сначала взрывается, а потом в него попадает снаряд - нет таких систем отсчёта и не может быть.

Сложно представить? Да, не очень-то просто. Но нам поможет геометрия! При переходе в другую систему отсчёта координатные оси пространства-времени изменяются, в результате то, что было одновременно или одноместно в некоторой системе отсчёта, может стать совсем не одновременным и не одноместным. Вот так это выглядит в пространстве Минковского (для наглядности рассматриваем плоский вариант с событиями, чья пространственная компонента находится только на оси x):

Тут изображено событие E с точки зрения двух систем отсчёта (x,ct) и (x',ct'). Точечным пунктиром указана линия "одновременности" с событием E в каждой из СО, а неравномерным пунктиром - линия "одноместности". Голубым цветом изображён световой конус.

Как нетрудно видеть, для любых двух событий можно нарисовать параллельную проходящей через них линии ось, которая попадёт или внутрь светового конуса (в этом случае события будут пространственноподобными, а ось будет осью времени соответствующей ИСО), либо окажется снаружи (в этом случае события будут временеподобны, а ось будет пространственной осью). Одновременно временеподобными и пространственноподобными события быть не могут.

Множество событий, описывающих поведение любого объекта в пространстве Минковского, называют "мировой линией". Например, мировая линия объекта, вращающегося вокруг начала ИСО, будет выглядеть как синусоида вдоль оси времени.

В терминах пространства Минковского вам будет намного легче понимать многие эффекты СТО, в которых вечно чудится какой-то неуловимый подвох.

Вместо заключения

Я нисколько не сомневаюсь, что доморощенным "гениям" ничто не помешает в очередной раз найти стопицот "доказательств" и "противоречий", потому что уже сто раз было и уже двести раз не удивило. Но, увы, это не поможет. Примитивные рассуждения и наивные выводы в такой сложной теме всегда означают исключительно недостаток понимания, недостаток пространственного (четырёхмерного и псевдоевклидова, ха-ха!) восприятия, недостаток абстрактного мышления. Так что не спешите строчить стандартные и давно не новые отписки не по делу, даже не читая статью, как вы это обычно делаете.

В СТО нет внутренних противоречий. Апеллировать к логике тут бессмысленно, потому что для логики СТО является системой совместных аксиом, а это значит, что у неё есть модель по Гёделю (например, моделью СТО является пространство Минковского). Все критики СТО ищут в ней именно такие противоречия, которых нет и не может быть - искать их совершенно бесполезно.

Ну а для того, чтобы предметно обсуждать теорию относительности, нужно во всём вышенаписанном разобраться. А если не получилось разобраться, то… Как можно адекватно критиковать то, чего не понимаешь? Никак.

Чем больше воды, тем глубже мысль

    Нарвались: табу на уничтожение киевской верхушки снято
    • pretty
    • Вчера 08:20
    • В топе

    Кирилл СтрельниковВчерашнее убийство начальника войск радиационной, химической и биологической защиты (РХБЗ) Вооруженных сил России генерал-лейтенанта Игоря Кириллова и его помощника ставит большую и ...

    Чисто английское убийство
    • pretty
    • Вчера 19:32
    • В топе

    Сергей ВасильевГлядя, с какой скоростью, буквально теряя тапки, кастрюлеголовые гестаповцы побежали брать на себя ответственность за теракт в Москве, увидев их воодушевленные элитным “коксом” лица, хо...

    Ваш комментарий сохранен и будет опубликован сразу после вашей авторизации.

    0 новых комментариев

      Крымский эфир

      Каждый раз, когда вы слышите, что учёные "наконец-то!" обнаружили эфир, просто вспомните, что это "наконец-то!" было уже неоднократно… и будет неоднократно. Но каждый раз это или ошибки проведения эксперимента, или ошибки интерпретации результата, или даже откровенная подтасовка данных.Об одном таком "исследовании" мы сегодня и поговорим. Пассивный спутн...
      814

      Все языки мира произошли от русского? А если подумать головой?

      Как известно из запрещённых на ютубе видео, все языки мира произошли от русского.Что, не верите? Давайте разбираться.Возьмём простое слово "земляника". Как будет "земляника" по-английски? Смотрим в словарь… О, strawberry. Ну, тут только слепой не поймёт, что это "с трав бери" - чисто русское слово… словосочетание…После того, как вы вдоволь посмеётесь и успокоитесь, я ...
      1765

      Опыты Дейтона Миллера, пытавшегося поймать "ветер"

      Надеюсь, вам понравилась предыдущая статья о настоящем учёном в лагере оппонентов Эйнштейна. Сегодня мы поговорим о ещё одном настоящем учёном, в этот раз даже не о математике, а о физике.Итак, встречайте. Дейтон Кларенс Миллер - американский физик, акустик, пионер в использовании рентгеновского излучения. Однако, помимо перечисленных областей физики, он также был яры...
      1397

      Скорость света превышена! Или нет?

      "Ученые разогнали световой пучок выше скорости света" - именно с таким некоторые издания и сайты опубликовали новость 21 мая сего года.Столь удивительное открытие, конечно, не могло не вызвать огромный интерес тысяч учёных, ведь уже давно известно, что скорость света постоянна и не может увеличиваться. Если кому-то удалось преодолеть столь фундаментальный принцип, то ...
      1048
      Александр Зейналов 26 августа 2021 г. 00:16

      Переговоры с террористами

      На КОНТе обитают в большом количестве вирусологи с глубокими познаниями в художественной гимнастике. В остальных областях человеческой деятельности они разбираются хуже, поэтому я их обычно не читаю.Но тут вот внезапно в ленте наткнулся на очень странное... И вот знаете, автор, наверное, хотел бы, чтобы нас пробирала гордость. Вот только ч...
      700

      Экстраполяция, интерполяция и статистика на пальцах

      Под моей статьёй об ошибках неуместного доверия к выводам, полученным экстраполяцией ограниченного опыта на слишком широкий класс явлений, материализовался некий товарищ, представитель малоизвестного туземного племени "прививки убивают", и начал рассказывать, что это как раз про прививки.Несмотря на то, что я указал этому товарищу, что он не понимает, что такое экстра...
      1222

      Христо Христов. Много шума из... ничего?

      Опровергатели постулатов Эйнштейна очень не любят, когда им указывают на исключительно маргинальные позиции в современной физике любых альтернативных теории относительности концепций. Но выглядеть красиво и "ноучно" им всё же хочется, поэтому у них огромным интересом пользуются любые публикации на тему того, как в ТО всё "неправильно". Списки таких публикаций входят в...
      1395

      Рыцарь Петров в неравной битве с физикой

      При подготовке предыдущей статьи я случайно наткнулся на следующую страницу на довольно старом и известном сайте "Наука и Техника". С некоторым недоумением я обнаружил, что столь авторитетное издание с целью развития решило привлекать редакторов со стороны, и, похоже, умудрилось выдать редакторские права явному фрику, занимающемуся на страницах сайта пр...
      1173

      Предшественники Эйнштейна

      В сознании многих граждан в 1905 году из ниоткуда возник некто Альберт Эйнштейн и провозгласил своё коронное: "Всё относительно!" - и все физики внезапно сказали: "Есть!"Те же, кто считают себя более эрудированными, могут также сказать о том, что до Эйнштейна были Майкельсон с примкнувшим к нему Морли, чей опыт стал экспериментальной основой второго пос...
      2085

      Фоменко-Носовский и Велесова книга

      Недавно под одной статьёй о двух Фоменко-Носовских из ларца некий представитель племени "в истории полно противоречий" начал рассказывать о том, как историки якобы игнорируют "неудобные факты".В качестве примера "игнорируют" и "факты" он привёл "Велесову книгу" (ВК).Знаете, что меня в этой ситуации больше всего поразило? ВК, как утверждается, записана в...
      3021

      Экстраполяция ограниченного опыта как метод получения неправильных выводов

      На первом занятии по философии преподаватель рассказал нам притчу. Некий исследователь закидывал в море сеть с размером ячейки 10 см. На основе экспериментов с этой сетью исследователь сделал вывод, что вся рыба в море имеет длину не менее 10 см.Ошибка исследователя состояла в том, что он экстраполировал ограниченный опыт, считая его достаточным для пол...
      2077

      Патрик Гордон о языке Московии

      Нашёл у Патрика Гордона в его известной географической энциклопедии "Geography Anatomiz'd: or, the Geographical Grammar" замечательное:Язык [Московии]. Язык, используемый в этой стране, является диалектом славянского, но настолько испорчен и смешан с другими языками, что плохо понимается носителями чистого славянского, который, тем не менее, всё ещё используется русс...
      2130

      Славянская трезвость

      Вы могли наверняка читать и слышать о том, как великие древние славяне были проповедниками ЗОЖ и никогда не употребляли ни капли алкоголя. Их на самом деле споили злобные евреи/иезуиты/христиане/татары/Владимир/Пётр/Брежнев/подставить-что-угодно в целях уничтожения. Правда это или нет? Давайте спросим у свидетелей!Феофилакт Симокатта, История, VII век (...
      1685

      Атлас генетических смешиваний (A Genetic Atlas of Human Admixture History)

      Издавна люди заметили, что дети часто наследуют внешние признаки своих родителей. В целом это не выглядело лишённым какой-то логики (с учётом того, как рождаются дети), однако механизм подобного наследования долгое время был неизвестен.Только в XX веке, благодаря развитию микробиологии, человечество смогло узнать о том, как именно передаётся наследственная информация....
      3582

      Гаплогруппы

      Вы, наверное, много раз слышали о таком понятии современной генетики, как гаплогруппы. И наверняка далеко не в научном контексте. О гаплогруппах в среде неспециалистов очень много говорят разного рода альтернативщики и фрики, выдвигая иногда просто смелые, но чаще полностью абсурдные предположения. Обычные люди зачастую не разбираются в этой теме даже поверхностно, по...
      3851
      Александр Зейналов 2 февраля 2021 г. 22:53

      Реальное нереальное

      Множество каких-то неведомых блоггеров и различных совершенно независимых (конечно же!) СМИ сообщают, как один никому не нужный блоггер реально никому не нужен. Не, я серьёзно, не нужен никому и абсолютно никому же не интересен. Целый секретарь президента пытается убедить окружающих и самого себя, как его работодатель не следит за какими-то блоггерами... Ну вот ни за ...
      424

      (18+) Гадание по фото как научный метод

      Как вы знаете, просветлённые умы широко практикуют метод научного гадания по фото, и это работает!Например, если взять фото, на котором на фоне некоторой конструкции находится строительная техника, то можно пребывать в стопроцентной уверенности, что эта конструкция построена в том же году, когда и сделано фото.Для иллюстрации возьмём вот это фото из уже весьма далёког...
      2095
      Александр Зейналов 10 августа 2020 г. 21:19

      Ложь и пропаганда существуют, когда есть что скрывать

      Представьте себя в роли безупречного победителя выборов, которому оказана всенародная поддержка. И вот вдруг оппозиция устраивает акции протеста. Что дальше?А дальше можно просто намекнуть - и даже если несколько процентов поддержавших всего лишь выйдут на улицу, то протестующие просто утонут на фоне их числа.Впрочем, даже намекать не надо - куча народу выйдет просто ...
      1130

      Границы Руси и России с 850-х гг. Интерактивная карта

      Дорогие друзья, а помните ли вы исторические карты прошлых веков в школьных учебниках и разного рода энциклопедиях, над которыми было так приятно залипать? Новые времена и новые технологии приносят нам невиданные доселе познавательно-залипательные технологи.Встречайте интерактивную карту границ России (Киевской Руси, Российской Империи, СССР и всё такое), разработанну...
      3281
      Александр Зейналов 1 июля 2020 г. 18:39

      Политика и беспристрастность

      Дорогие друзья, а вот кого бы вы поддержали во Второй гражданской войне в Судане: правительственные войска Джафара Нимейри или сепаратистов НАОС под командованием Джона Гаранга?Что, вы даже не знаете, кто это такие? Ну да, конечно, мало кто из вас знаком с особенностями истории и политики Африки.Но ведь это даже здорово: не обладая изначальной пристраст...
      692
      Служба поддержи

      Яндекс.Метрика