Как понять эпидемию с помощью математики

Всех опасней в целом мире
Вирус гриппа… три-четыре…
(ц) Владимир ибн-Семён

Математика - царица наук. Благодаря математике можно очень много лучше понимать в окружающем мире. Например, можно построить несложную модель распространения некоей гипотетической болезни и на её основе разобраться в том, как вообще устроены эпидемии и насколько они опасны.

Итак, пусть есть некая гипотетическая болезнь, которой болеют сроком 1 неделю, в течение которых человек заражает в среднем 4 других человека (этот показатель называется "базовое репродуктивное число", R0). Через неделю сам человек либо вылечивается, либо умирает, долю умерших обозначим как D (например, D=0.07 означает, что умрёт 7 человек из 100, или 7%). Предположим, что второй раз этой болезнью не болеют (например, образуется достаточный иммунитет). Давайте прикинем, как будет развиваться эпидемия болезни с R0=4, D=0.07, если на старте заболел один человек.

1 неделя: 1 заразившийся, 1 болеющий, 0 умерших, 0 выздоровевших.

2 неделя: 5 заразившихся (4 болеющих, 0 или 1 умерших, соответственно 1 или 0 выздоровевших - для развития эпидемии неважно, повезло её инициатору выжить или нет).

3 неделя: 1+4+16 заразившихся (16 болеющих), 1+4 переболевших (D*5 умерло, (1-D)*5 выздоровело).

И так далее.

В общем случае на неделе n: 1+4+...+4^(n-1) заразившихся, 4^(n-1) болеющих, D*(1+4+...+4^(n-2)) умерло, (1-D)*(1+4+...+4^(n-2)) выздоровело.

Например, через 3 месяца (12 недель) число переболевших составит 5592405, из них уже закончат болеть (удачно или нет) 1398101, а болеть будут 4194304.

Обратите внимание, что уже закончат болеть меньше полутора миллионов, а вновь заразившихся будет больше четырёх миллионов - в 3 раза больше!

А как будет выглядеть процент смертности? При D=0.07 на 12 неделе умрут 97867 человек. Но на фоне заразившихся 5592405 эта величина будет выглядеть как 1.75% (97867/5592405). Этот процент сильно ниже реальной смертности, и подобный способ вычисления вводит нас в заблуждение. Почему так получилось? Потому что мы не учитываем, что для вновь заразившихся 4194304 ещё неизвестно, умрут они или выживут. Через неделю умрёт 293601 - это больше, чем умерло за все предыдущие недели!

Из этого всего нужно сделать важный вывод:

Пока число новых заболевших значительно превышает число уже переболевших, отношение числа умерших к числу заболевших никакого отношения к смертности не имеет.

К счастью, эпидемия не сможет распространяться с такой безумной скоростью вечно. Ей скоро негде будет находить ещё не заразившихся потенциальных носителей. В самом деле, на 19 неделе число заразившихся гипотетической болезнью составит 91625968981, что уже превышает население Земли!

Конечно, начнёт влиять и то, что многие люди на самом деле не перемещаются по планете как попало, и в их окружении вирусу уже будет трудно найти следующего потенциального носителя. И, разумеется, повлияют также действия, предпринимаемые видом Homo Sapiens против его деятельности: карантинные мероприятия, профилактические меры, разработка методов специфического лечения, ну и всякое такое.

Теперь мы можем сделать ещё один важный вывод:

Теоретически любая болезнь с R0>1 распространяется с экспоненциальной скоростью (как функция R0^n), на практике же экспоненциальный рост рано или поздно начинает ограничиваться как естественными причинами, так и целенаправленной деятельностью человека по сокращению этого роста.

Так что страшный прогноз развития гипотетической болезни, при котором 7% населения планеты через 18 недель умирают, фактически невозможен.

После того, как мы всё это усвоили, попробуем сравнить нашу гипотетическую болезнь с банальным вирусом гриппа. Гриппом болеет за сезон далеко не всё население, обычно не больше 10%. Например, в масштабах нашей страны это 15 миллионов человек. Летальность сезонного гриппа обычно не превышает 0.2% (хотя отдельные разновидности гриппа в истории показывали летальность выше 20%). По всему миру это означает 750 миллионов заболевших, их них не более 1.5 миллиона умрут (по факту от гриппа умирает ещё меньше).

Пусть нашим гипотетическим вирусом с R0=4, D=0.07 заразилось уже 300 тыс. человек. Из них умрут 21000, но это в будущем, а пока что умерло около четверти от этого количества, то есть не более 6 тыс. И может показаться, что грипп (1.5 миллиона умерших) намного опаснее нашего вируса (6 тыс.), но это иллюзия! Наша ошибка в том, что мы сравниваем окончательную среди 750 миллионов с неокончательной летальностью среди 300 тысяч, что, конечно, вопиюще неправильно!

Очередной вывод:

Сравнивать абсолютный показатель летальности двух разных болезней можно только при равном количестве заболевших.

Будем надеяться, что сравнивать нашу гипотетическую болезнь с гриппом при равном количестве заболевших не придётся, что распространение заболевания удастся сдержать.

Важная проблема, связанная с лавинообразно растущим числом заболевшим, заключается в возможности медицинской системы оказать необходимую помощь пострадавшим. Требуются медицинские работники, койкоместа в больницах, слоты для приёма в поликлиниках, лекарства, медицинский инвентарь, диагностическое и лечебное оборудование, итд итп.

Таким образом, ещё один важный вывод:

При определённом количестве заболевших узким местом становится не сама болезнь, а ресурсы для противодействия её распространению и для оказания помощи пострадавшим.

Мы рассмотрели пример очень гипотетической заразной болезни с R0=4 и смертностью D=0.07. А теперь давайте посмотрим на несколько реальных болезней:

Корь. R0=14. Эта болезнь невероятно опасна. Любой заболевший может спровоцировать лавинообразное заражение, что мы и наблюдаем в реальности регулярно. Напомню, что величина R0 является основанием степенной функции, чем она выше - тем круче экспоненциальный рост, так что пусть вас не сбивает с толку тот факт, что 14 вроде бы не очень сильно больше 4.

Грипп. R0=1.5...2.

Грипп-испанка. R0=2.8. Это грипп повышенной заразности и высокой летальности (10-20%) усугублялся тем, что его распространяли возвращавшиеся на родину солдаты Первой мировой войны. Из-за этого им заразилось 30% населения планеты, почти 100 миллионов человек погибли.

Коронавирус COVID-19. R0=4. Думаю, вы и так догадались, что я неслучайно взял такое число для гипотетической болезни. Но в моём примере показатели вируса были немного другие, в частности, носители COVID-19 заражают R0=4 людей в течение двух недель, а летальность заболевания, по-видимому, составляет около 4%. Так что придуманная мною болезнь не совпадает с коронавирусом, она распространяется быстрее и обладает более высокой летальностью.

Повторим ещё раз все выводы, которые мы составили по ходу моделирования эпидемии:

Пока новых заболевших значительно превышает число уже переболевших, отношение числа умерших к числу заболевших никакого отношения к смертности не имеет.

Теоретически любая болезнь с R0>1 распространяется с экспоненциальной скоростью (как функция R0^n), на практике же экспоненциальный рост рано или поздно начинает ограничиваться как естественными причинами, так и целенаправленной деятельностью человека по сокращению этого роста.

Сравнивать абсолютный показатель летальности двух разных болезней можно только при равном количестве заболевших.

При определённом количестве заболевших узким местом становится не сама болезнь, а ресурсы для противодействия её распространению и для оказания помощи пострадавшим.

Последнее особенно важно сейчас: главной целью является снижение скорости распространения болезни, иначе медицинская система просто не сможет лечить больных, некоторым из которых нужна, например, срочная ИВЛ. Именно поэтому закрывают границы, ограничивают публичные мероприятия, рекомендуют по возможности меньше выходить из дома.

Берегите себя и не давайте различного рода "блохерам" манипулировать вами с помощью цифр, истинный смысл которых они и сами неспособны понять правильно.