Экстраполяция ограниченного опыта как метод получения неправильных выводов

На первом занятии по философии преподаватель рассказал нам притчу. Некий исследователь закидывал в море сеть с размером ячейки 10 см. На основе экспериментов с этой сетью исследователь сделал вывод, что вся рыба в море имеет длину не менее 10 см.

Ошибка исследователя состояла в том, что он экстраполировал ограниченный опыт, считая его достаточным для получения окончательных выводов. Однако реально из его экспериментов следовало лишь, что рыба длиной 10 см и более существует, но никак не следует несуществование рыбы меньшего размера.

Человеку свойственно воспринимать ограниченный опыт как достаточное условие для обобщения (экстраполяции) на более широкий класс объектов и явлений. Это может приводить нас к ошибкам, несколько примеров которых я и приведу.

Квадратный маршрут

Что будет, если пройти 100 метров на север, 100 метров на восток, 100 метров на юг, 100 метров на запад? Правильно, мы вернёмся в исходную точку. Наш жизненный опыт намекает нам, что подобное произойдёт и при 10 метрах, и при 100 метрах, и при километре...

Однако если мы поставим эксперимент с увеличенным расстоянием, то обнаружим неожиданное. Например, пройдём мы 500 км на север от Санкт-Петербурга, 500 км на восток, 500 км на юг, 500 км на запад… И окажемся примерно в 80 км в востоку от исходной точки.

Почему так получилось?

Вы совершенно правильно всё поняли. Дело в шарообразности Земли. Санкт-Петербург находится почти на параллели 60 градусов. На этой широте один градус - это примерно 55.6 км. 500 км - это на 4.5 градуса севернее, там один градус имеет длину 47.8 км. То есть 500 км на восток в нашем маршруте будет соответствовать 10.5 градусов, а 500 км на запад - 9 градусов. В результате наших передвижений мы окажемся на полтора градуса восточнее исходной точки. Полтора градуса - это примерно 80 км.

Наша ошибка заключалась в том, что мы не учли, что движение по сторонам света не является движением по плоским параллельно-перпендикулярным прямым. В ограниченном пространстве эта эвристика работала, там погрешности от шарообразности Земли были незначительными, вот мы их и не заметили.

Бросание камня

Представим себе, что мы бросаем камень от себя горизонтально. Камень падает на некотором расстоянии от нас. Путём экспериментов мы устанавливаем, что камень падает тем дальше, чем больше была начальная его скорость. Но камень всегда падает, и мы делаем эвристический вывод, что его падение всегда неизбежно.

Однако если бы на Земле не было атмосферы (и трения об воздух), а мы бы могли бросить камень с начальной скоростью 8 км/с, то мы бы обнаружили, что он никогда не упадёт, а будет бесконечно обращаться вокруг Земли. Всё дело в той же шарообразности планеты. При определённой скорости, называемой первой космической, кривизна траектории падения камня совпадает с кривизной самой поверхности планеты. Для Земли первая космическая скорость как раз и составляет около 8 км/с.

Мы опять можем сделать неправильный вывод, экстраполируя поведение камня c небольшой скоростью на поведение его при любых других скоростях, даже весьма значительных.

Релятивистские эффекты

И, наконец, пример более сложный, но от того не менее поучительный. Мы привыкли, что во многих практических ситуациях скорость движения тела, движущегося относительного другого движущегося тела, может быть определена с помощью операции сложения скоростей. На тех скоростях, с которыми мы сталкиваемся в жизни, подобная эвристика отлично работает, но неверно распространять подобный эмпирический опыт на движение любых тел.

Многочисленные астрономические наблюдения за последние 300 лет показали, что подобное правило на примере света в масштабах межзвёздного пространства работает крайне плохо. Люди опять допустили ошибку, приписывая поведению света такие же эвристические свойства, какие они наблюдают при движении автомобилей и камней.

Чтобы сделать правильные выводы, понадобились многие поколения экспериментов, улучшение инструментария для их проведения и множество совершенно неверных идей. А также гений Лоренца, Пуанкаре и Эйнштейна, чтобы свести всё это в единую теорию, в которой все наблюдаемые частные случаи были бы проявлениями единого общего закона. Так появилась специальная теория относительности.

Иллюзия противоречия

После всего сказанного вам может показаться, что правила для одних и тех же явлений с разными изначальными условиями (расстояния, скорость итд) отличаются и даже противоречат друг другу. Но так ли это? Нет, конечно. Правила едины. Просто надо понимать, что верное правило в разных условиях допускает более простые приблизительные трактовки, погрешность которых может быть невелика и даже совсем ничтожна.

Так, квадратный маршрут со стороной 100 метров точно также подвержен влиянию кривизны Земли, как и маршрут со стороной 500 км. Вот только для 100 м в районе Питера мы будем иметь погрешность порядка 0.5% (5 мм на 100 м), а для 500 км - 16% (80 км на 500 км). В первом случае считать Землю (ограниченный её кусок) плоской вполне приемлемо для практических целей, а во втором это допущение станет источником значительной ошибки.

Для бросаемого мускульной силой камня начальная его скорость будет так невелика, что кривизна Земли не даст никакого значимого влияния на его траекторию. А вот для космических и баллистических ракет с развиваемой ими высокой скоростью всё будет намного сложнее, там кривизна Земли напрямую влияет на правильность расчёта их траектории.

И, наконец, движение не только света, но и пресловутой черепахи с Ахиллесом подвержены релятивистским эффектам. Просто на скоростях движения медленной черепахи и даже быстро бегающего по меркам обычных людей Ахиллеса релятивистские ошибки будут иметь величины, которые в миллионы раз меньше даже величины стекающих со лба Ахиллеса капель пота, вот мы их и не замечаем.

Выводы

Вывод из всего сказанного очень простой. Не следует поспешно распространять узкий класс наблюдаемых фактов на слишком широкий класс более общих явлений. Например, движение ползающей черепахи вовсе необязательно идентично движению быстро летящего астрономического объекта.

Изображения рыбки и линейки безвозмездно (то есть даром) предоставлены Дмитрием Абрамовым и Katherine Ab.