Парадокс лжеца (размышления о математической истине)

Так называемый «парадокс лжеца», хорошо известный еще с античных времен, очень хорошо демонстрирует главную проблему математической логики.

Для тех, кто не в курсе, рассказываю:

Дано высказывание: «Данное высказывание ложно».

Вопрос: Истинно ли данное высказывание?

Оценить истинность данного высказывания невозможно. Если данное высказывание считать истинным, то оно теряет всякий смысл. А если ложным, то оно противоречит само себе, т.к. выражает истину.

Эта шуточная антиномия является примером известного в математике (а именно, в теории множеств) парадокса Рассела, названного в честь открывшего его Бертрана Рассела. Суть его состоит в следующем:

Условимся называть множество «обычным», если оно не является своим собственным элементом. Например, множество всех людей является обычным, так как само множество – не человек.

Примером «необычного» множества является множество всех множеств, т.к. оно само является множеством, а, следовательно, само является собственным элементом.

Множество, состоящее из всех обычных множеств, называется расселовским множеством. Парадокс возникает при попытке определить – является ли это множество обычным или нет, т.е. содержит ли оно себя в качестве элемента.

Очевидно, что так же, как и в случае с парадоксом лжеца, оценить обычность/необычность расселовского множества не представляется возможным. Любое решение порождает парадокс.

Так в чем же заключается главная проблема математической логики, порождающая подобные парадоксы? В том, что само логическое утверждение рассматривается в отрыве от того, кто его порождает, в отрыве от самой реальности. И такая математика действительно порождает очень много не только лжи, но и совершенно бесполезной теории, не имеющей никакого практического применения, никакой связи с физической реальностью.

Возьмем пример с парадоксом лжеца. Зачем произносить утверждение, заведомо содержащее в себе ложь? Оно не несет никакой смысловой нагрузки, не приносит никакой пользы, не способствует совершенствованию мира. Оно изначально противоречиво и саморазрушительно, заставляя мысль бегать по замкнутому кругу.

Примеры подобных саморазрушительных высказываний можно часто услышать на просторах сети или из уст окружающих. Например: «Все лгут», «Все негодяи», «Люди – это главная угроза на планете Земля, и природа должна их уничтожить». С учетом того, что произносит это человек, выглядит это парадоксально.

Истина не может противоречить сама себе, она не может быть направлена против себя самой же, и вообще против чего-либо. Она всегда жизнеутверждающа! И научная истина возможна только на стыке математики и физики, т.е. на стыке теории и практики, когда утверждения формулируются не просто ради игры слов, а с целью совершенствования сознания и мира, с пониманием ЕДИНСТВА сознания и мира. А это предполагает высокую ответственность за состояние своего сознания (с учетом его влияния на мир), т.е. высшую степень осознанности.

Вернемся теперь к парадоксу Рассела. Почему множества были поделены на «обычные» и «необычные»? Насколько правомерно такое разделение? В качестве примера обычного множества приведено множество людей, т.к. «множество людей – это не человек». Но здесь требуется уточнить: какое именно множество людей? Сколько человек: пять, десять, тысяча, миллион? Выбранных случайным образом или связанных между собой узами родства? и т.д. и т.п.

Мы ведь ничего не знаем об этом множестве, чтобы так категорично утверждать: «множество людей – это не человек»!

Скорее всего, Рассел имел в виду под «обычным» множеством людей некую группу живых людей. Но ведь это всего лишь ЧАСТЬ от полного множества ВСЕХ людей, когда-либо живших, живущих и будущих жить в дальнейшем. А про такое, целое, множество мы уже не можем сказать уверенно, что оно «не человек».

Наоборот, именно оно и содержит в себе саму суть, саму идею человека! А каждый отдельный человек является всего лишь одним из воплощений этой идеи.

Именно благодаря наличию этого идеала и существует само множество. Иначе как бы мы смогли определить: кого причислить к множеству людей, а кого нет?

Именно такое, целостное, понимание множества было у Г. Кантора, автора «наивной теории множеств»: «Множество есть любое собрание определённых и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое как единое целое».

Я не знаю, почему теорию Кантора математики называют «наивной». На мой взгляд, именно она и отражает истинное понимание информационной природы вещей и эволюции мира.

На КОНТе есть один автор, который обвиняет математиков в том, что они извратили физику, превратив её в абстрактную теорию, не имеющую никакого отношения к реальности. Дело конечно, не в математике и не в физике, а в нас самих. В том, насколько широко или ограниченно наше сознание, наше восприятие реальности. Можем ли мы объять мыслью и чувством мир в целом или не можем? Можем ли за внешними деталями и различиями разглядеть единую суть? Можем ли в «обычном» увидеть «необычное», не считая это парадоксом?